Chapitre 4.4 – Le moment d’inertie et l’énergie cinétique de rotation

« Chapitre 4.4 – Le moment d’inertie et l’énergie cinétique de rotation L’énergie cinétique en rotation L’énergie cinétique K est par définition l’énergie associée au mouvement d’un corps.

Lorsque celui-ci effectue une translation, l’énergie cinétique dépend de l’inertie de translation qui est la masse m et du module de la vitesse v au carré : K= où 1 2 mv 2 K m K : Énergie cinétique de translation (J) m : Masse de l’objet (inertie de translation) (kg) v : Vitesse de l’objet (m/s)  v Lorsqu’un corps effectue une rotation à vitesse ω autour d’un axe, le corps est en mouvement et possède une énergie cinétique.

Puisque l’ensemble du corps se déplace avec une vitesse angulaire commune ω , on peut définir une énergie à partir de cette vitesse.

L’inertie de rotation I pour cette expression d’énergie n’est pas uniquement la masse m car l’énergie possède comme unité le joule ( J = N ⋅ m = kg ⋅ m 2 /s 2 ). Afin de préserver la forme de l’expression de l’énergie cinétique, voici l’expression de l’énergie cinétique en rotation qui respecte l’unité du joule : K 1 K = Iω 2 2 où  ω I K : Énergie cinétique de l’objet en rotation (J) I : Inertie de l’objet en rotation autour d’un axe ( kg ⋅ m 2 ) ω : Vitesse angulaire (rad/s) Validation des unités : Axe de rotation Évaluons les unités de l’inertie de rotation à partir de la définition de l’énergie cinétique de rotation : K= 1 2 Iω 2 ⇒ [K ] =  1 Iω 2  (Évaluer les unités) ⇒ kg ⋅ m 2 1 = [I ] 2 2 s s ( [K ] = ⇒ 2 [I ] = kg ⋅ m 2  ■ Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Note de cours rédigée par Simon Vézina kg ⋅ m rad 1 et [ω ] = = ) 2 s s s (Simplifier) Page 1 L’inertie en rotation En rotation, l’inertie d’un corps dépend de sa masse, de sa force et de sa position par rapport à l’axe de rotation du corps.

Lorsque le corps peut être décomposé en N masses ponctuelles mi , l’inertie totale du corps sera égale à l’addition de toutes les inerties associées à chaque masse ponctuelle : N I = ∑ mi ri r3 m3 r1 r2 m1 m2 2 axe rotation i =1 I : Inertie totale du système de masse ( kg ⋅ m 2 ) mi : Masse ponctuelle i (kg) ri : Rayon de la trajectoire circulaire de la masse ponctuelle i (m) N : Nombre de masses ponctuelles dans le calcul du moment d’inertie où Preuve : v3 Considérons un corps rigide de masse totale m constitué de N éléments de masse mi effectuant une rotation autour d’un axe de rotation à une vitesse angulaire ω .

Il est important de préciser que l’ensemble du corps tourne à une vitesse ω , mais que chaque élément mi se déplace à une vitesse vi et à une distance ri de l’axe de rotation.

Évaluons l’inertie totale du corps à partir de la définition de l’énergie cinétique : m3 r3 r2 v2 ω r1 m2 m1 v1 axe rotation N K = ∑ Ki N ⇒ 1 2 K = ∑ mi v i i =1 2 1 2 (Remplacer K i = mi vi ) 2 ⇒ N 1 2 K = ∑ mi (ri ω i ) i =1 2 (Remplacer vi = ri ω i ) ⇒ N 1 2 2.... »