Ch3. Analyse temporelle des systèmes linéaires

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Analyse temporelle des systèmes linéaires I- Introduction : Notion de systèmes 1- Définition Un ‘système’ ou ‘processus’ correspond à un ensemble de relations physiques entre les grandeurs d’entrée (causes) et les grandeurs de sortie (effets). La représentation d’un système monovariable (une seule entrée, une seule sortie) est la suivante : entrée u(t) sortie y(t) ‘système’ ou ‘processus’ 2- Classification des systèmes Les systèmes se divisent en deux grandes familles : - Les systèmes linéaires - Les systèmes non linéaires Un système linéaire est un système qui obéit au principe de superposition. Si u1(t)→y1(t) (la sortie du système pour l’entrée u1(t) est y1(t)) et u2(t)→y2(t) (la sortie du système pour l’entrée u2(t) est y2(t)) alors k1u1(t)+ k2u2(t)→ k1y1(t)+ k2y2(t) (la sortie du système pour l’entrée k1u1(t)+ k2u2(t) est k1y1(t)+ k2y2(t) ) Tout système qui n’obéit pas au principe de superposition est dit non linéaire. La représentation de base d’un système linéaire mono variable est une équation différentielle à coefficients constants : an d n y (t ) dy (t ) d mu (t ) du (t )  ...  a  a y ( t )  b  ...

 b1  b0u (t ) 1 0 m n m dt dt dt dt avec m≤n et an≠0 1 Exemple : a2 d 2 y (t ) dy(t ) du (t )  a1  a0 y (t )  b1  b0u (t ) 2 dt dt dt , n=2 et m=1 II- Notion de fonction de transfert 1- Définition La fonction de transfert F(p) d’un système monovariable dont l’entrée est u(t) et la sortie est y(t) est définie par la relation suivante : F ( p)  Y ( p) U ( p) où Y(p) et U(p) sont respectivement les T.L de y(t) et u(t) u(t) y(t) F(p) 2- Propriétés - La fonction de transfert d’un système est indépendante de son entrée u(t). Si u(t)=δ(t) (l’impulsion de Dirac) alors U(p)=1 d’où Y(p)=H(p)=F(p).

Donc la fonction de transfert d’un système est la transformée de Laplace de sa réponse impulsionnelle h(t). δ (t) h(t) F(p) H(p)=F(p) 3- Fonction de transfert d’un système linéaire Soit un système linéaire régi par l’équation différentielle suivante : d n y (t ) dy (t ) d mu (t ) du (t ) an  ...  a  a y ( t )  b  ...

 b1  b0u (t ) 1 0 m n m dt dt dt dt En appliquant la T.L à cette formule et en supposant que les conditions initiales sont nulles ( y(0)=y’(0)=…y(n-1)(0)=0 et u(0)=u’(0)=…u(m-1)(0)=0 ) 2 Alors on obtient : (anpn+…+a1p+a0)Y(p) = (bmpm+…+b1p+b0)U(p) Soit F ( p)  - Y ( p) b m p m    b1p  b 0  U ( p) a n p n    a1p  a 0 avec m≤n L’entier n degré du dénominateur de F(p) est appelé ordre du système. Les racines du numérateur de F(p) sont appelés zéros du système. Les racines du dénominateur de F(p) sont appelés pôles du système. III- Analyse temporelle d’un système linéaire 1- Introduction L’analyse d’un système peut se faire par deux approches différentes : - approche harmonique (fréquentielle) - approche temporelle (transitoire) L’approche harmonique (ou fréquentielle) consiste à observer le comportement du système en réponse à un signal d’entrée sinusoïdal, pour différentes valeurs de la fréquence. L’approche temporelle (ou transitoire) consiste à étudier les propriétés du système sur la base de sa réponse indicielle (réponse à un échelon unité). En pratique, il y a deux types de réponses indicielles : - Réponse indicielle oscillatoire (figure 1) - Réponse indicielle apériodique (figure 2) y(t) ymax y(t) Δ y∞ 0.95y∞ 0.9y∞ y∞ 0.95 y 0.9y∞ 0.1y∞ 0.1y∞ t tm t tm tr figure 1 : Réponse indicielle oscillatoire tr figure 2 : Réponse indicielle apériodique 3 Remarque En pratique, il est souhaitable que le régime transitoire d’un système soit bien amorti et suffisamment rapide. Exemples y(t) y(t) y(t) t Régime transitoire mal amorti t Régime transitoire trop lent t Régime transitoire bien amorti et suffisamment rapide 2- Caractéristiques d’une réponse indicielle - Le taux d’amortissement d’une réponse oscillatoire est mesuré par le dépassement (maximal) de la réponse (figure 1) et exprimé souvent en %.  (Δ=ymax-y∞ : dépassement maximal, y∞ : valeur finale de y(t)) D .100% y - Le temps de montée tm est le temps qui s’écoule entre l’instant où la réponse y(t) atteint 10% de sa valeur finale et celui où elle en atteint 90%. - Le temps de réponse à 5% est défini comme étant le premier instant tr tel que : y (t ).... »