Sur quoi se fondent les mathématiques ?

« Définition des termes du sujet: MATHÉMATIQUE: ensemble des sciences hypothético-déductives ayant pour objet les nombres, les figures géométriques, les structures algébriques et topologiques, les fonctions, le calcul intégral et le calcul des probabilités.

Les mathématiques se distinguent des sciences naturelles par le fait que leurs objets sont a priori, cad indépendants de l'expérience sensible. Ce sujet oppose deux conceptions, empirisme et platonisme.

Pour Platon, les essences idéelles, objet des mathématiques, sont certes partie du monde des idées mais en même temps règlent les choses sensibles : les choses rondes et carrées copient les formes géométriques idéelles, les groupes d'oranges copient les rapports arithmétiques.

Donc le monde mathématique n'est pas à part.

Or les objets mathématiques ne se voient pas, ne sont pas sensibles.

Les mathématiques se fondent-elles sur le réel, sur ce qui est manifeste, ou sont- elles des lois de la raison, abstraites ? Contrairement à la physique, qui expérimente ses lois sur le donné du réel, comment fonder les mathématiques ? Qu'est-ce que "fonder" ? Est-ce que l'on cherche l'origine, historique ou psychologique, ou une justification ? Pour Frege, les mathématiques se fondent sur la logique et le principe de non-contradiction (c'est aussi le cas pour Leibniz dans les Nouveaux essais sur l'entendement humain).

Pourquoi ? Parce que la démonstration mathématique ne met en oeuvre que la nécessité logique.

Mais il se peut que les mathématiques aient en plus de la logique un objet spécifique, qui est l'infini, impalpable, invérifiable, indiscernable.

Est-il discutable pour autant ? De la géométrie d'Euclide aux géométries non euclidiennes. La géométrie d'Euclide est bien abstraite, mais les objets (la droite, par exemple) qu'elle considère sont abstraits du réel perçu par nos sens.

Les postulats, les axiomes de cette géométrie sont considérés comme évidents.

Les Anciens essayèrent, en vain, de déduire le cinquième postulat de la géométrie d'Euclide (par un point extérieur à une droite donnée, on peut mener une seule parallèle à cette droite) des autres postulats.

Au début du XIXe siècle, Lobatchevski et Bolyai fondèrent une nouvelle géométrie en partant du postulat que par un point extérieur à une droite donnée on peut mener plusieurs parallèles à cette droite.

En 1854, Riemann créa une autre géométrie postulant qu'il n'existe pas de droites parallèles.

Si ces géométries sont sans rapport avec notre représentation familière de l'espace, elles n'en sont pas moins légitimes à partir du moment où elles n'impliquent aucune contradiction logique. Axiomatisation des mathématiques. Dès lors les mathématiciens, se méfiant des évidences, construisent l'édifice mathématique en partant d'axiomes aussi simples et aussi peu nombreux que possibles et en enchaînant les propositions en vertu des seules règles de la logique.

Parallèlement à cet effort d'axiomatisation des mathématiques, se constitue avec Boole, Peano et Frege une logique enfin capable de formaliser effectivement le discours mathématique.

Dès lors, la tâche du mathématicien est de déduire des théorèmes à partir d'axiomes ni vrais ni faux mais simplement posés.

Quant à la validité des démonstrations, elle ne repose plus que sur la structure des énoncés qu'elles contiennent et non sur la nature particulière de ce dont elles parlent.

Peu importe, au fond, qu'il s'agisse de nombres, de droites ou de triangles. Comme le constate Bertrand Russell, « les mathématiques pures sont cette discipline où on ne sait pas de quoi on parle ni si ce qu'on dit est vrai » (The International Monthly, juillet 1901).. »