Quelle est la méthode des mathématiques ?

« LA MÉTHODE DES MATHÉMATIQUES — A — Le problème. Si l'on admet, avec Stuart Mill, que les objets mathématiques sont abstraits de l'expérience, la méthode mathématique consistera en une déduction reposant sur des principes expérimentaux et ses conclusions ne pourront avoir une valeur apodictique ; si l'on fait, des concepts mathématiques, de simples conventions ou des réalités intelligibles données, le mathématicien ne pourra qu'analyser ces concepts ; sa méthode sera la déduction formelle ; or celle-ci est rigoureuse, sans doute, mais stérile.

Poincaré a bien essayé de décrire sous le nom d'induction complète un raisonnement qui serait à la fois rigoureux et fécond sans être déductif ; mais cette prétendue induction, ordinairement appelée raisonnement par récurrence, est en réalité une suite de déductions et n'a d'ailleurs d'application qu'en arithmétique. — B — La démonstration mathématique. En réalité la méthode des mathématiques est une déduction constructive, c'est-à-dire un enchaînement logique dé jugements synthétiques a priori rendus possibles par l'existence d'intuitions pures.

Le caractère déductif du raisonnement explique sa rigueur et le caractère synthétique des propositions qui le composent explique sa fécondité (Cf.

par exemple la démonstration du théorème sur la somme des angles d'un polygone convexe).

La déduction formelle intervient parfois dans la démonstration pour appliquer un théorème à un cas particulier, mais il n'y a jamais d'induction et l'intuition empirique n'intervient qu'à titre de secours pour l'entendement.

La démonstration mathématique est donc entièrement a priori et c'est ce qui fait sa certitude. — C — Différentes formes. 1 — « L'analyse » remonte de la proposition à démontrer jusqu'à des principes d'où elle pourrait être déduite et dont la vérité est connue ; 2 — L'analyse indirecte ou raisonnement par l'absurde montre que la proposition contradictoire de celle qu'on veut démontrer est fausse parce qu'elle a des conséquences absurdes, et que, par suite, la proposition à démontrer est vraie (sans qu'on sache d'ailleurs pourquoi elle est vraie) ; 3 — La « synthèse » enfin consiste à partir de théorèmes connus et à en déduire des conséquences jusqu'à ce qu'on parvienne à la proposition à démontrer ; c'est une méthode d'exposition plutôt que de recherche.

Dans tous les cas le raisonnement est une déduction constructive. CONCLUSION En un sens les mathématiques sont des sciences autonomes, purement rationnelles.

En un autre sens elles sont les premières des sciences de la nature puisqu'elles sont la science des conditions a priori de notre perception des choses.

Par là s'explique leur intervention dans les sciences expérimentales.. »