Que connaissent les mathématiques ?

« Définition des termes du sujet: Mathématique: ensemble des sciences hypothético-déductives ayant pour objet les nombres, les figures géométriques, les structures algébriques et topologiques, les fonctions, le calcul intégral et le calcul des probabilités.

Les mathématiques se distinguent des sciences naturelles par le fait que leurs objets sont a priori, cad indépendants de l'expérience sensible. CONNAÎTRE / CONNAISSANCE: 1.

— Être familier de quelqu'un ou quelque chose.

2.

— Discerner, distinguer quelque chose : « Le premier et le moindre degré de connaissance, c'est d'apercevoir » (CONDILLAC) 3.

— Posséder une représentation de quelque chose, en part.

une représentation exacte.

4.

— Connaissance: a) Acte par lequel un sujet s'efforce de saisir de saisir et de se représenter les objets qui se présentent à lui.

b) Résultat de cet acte. Le biologiste, le sociologue ou le chimiste étudient des phénomènes existant indépendamment de leurs disciplines respectives.

En revanche, le mathématicien ne « découvre » pas des logarithmes ou des entiers naturels déjà constitués dans la nature ou dans la société.

Il les élabore et les invente.

En quel sens alors possède-t-il une science véritable ? Son savoir n'est-il pas aussi fictif que ces êtres qu'il prétend étudier, alors qu'il les crée de toutes pièces ? 1.

QUE SONT LES ÊTRES MATHÉMATIQUES ? A - Le réalisme mathématique Les objets mathématiques n'ont pourtant pas toujours été considérés comme de pures constructions mentales.

Pour Platon, par exemple, ils existent réellement : mais ce ne sont pas des êtres sensibles, ils ont une nature intelligible. Le cercle mathématique n'est en effet pas une trace de craie sur le tableau, c'est un être que seule la pensée appréhende, même si je me réfère parfois aux figurations sensibles de cette idée. Aux yeux de Platon, les idées mathématiques non seulement existent indépendamment du savant, mais elles sont en outres éternelles et universelles.

Elles possèdent donc un degré de réalité très supérieur à celui des choses sensibles, éphémères et particulières. Elles confèrent ainsi au savoir qui les étudie une grande supériorité scientifique, sur la physique notamment. B - Des êtres de raison On peut reprocher à cette thèse d'hypostasier les notions que forge le mathématicien. Pour Aristote, par exemple, en accord avec Platon, les êtres mathématiques ne sont pas sensibles.

Mais, en contradiction avec son maître, il refuse de les assimiler à des substances suprasensibles : l'idée du cercle n'existe pas par soi. La philosophie moderne récusera aussi le réalisme mathématique de Platon et définira les objets mathématiques comme des concepts, comme des êtres de raison.

On aurait tort toutefois de les tenir pour des chimères.

Élaborées rationnellement, les constructions mathématiques sont universellement valides, elles ne sont donc pas imaginaires. 2.

JEUX FORMELS ET SCIENCE MODERNE A - Un savoir hypothético-déductif Les mathématiques ne connaissent que des êtres de raison, il nous reste donc à préciser le type de savoir qu'elles produisent à leur sujet.

L'activité du mathématicien consiste en raisonnements hypothético-déductifs qui, à partir de propositions et de notions premières, conformément à des règles de démonstrations données à l'avance, formulent de nouvelles propositions.

Ces propositions que l'on nomme couramment théorèmes, rendent manifestes les propriétés des concepts initiaux. Les mathématiques construisent donc des systèmes logico-formels, c'est-à-dire des ensembles non-contradictoires d'axiomes et de théorèmes sans ancrage dans la réalité sensible, et dont la validité est assurée par leur seule cohérence interne.

Sont-elles, en conséquence, une illustration, éclatante mais gratuite, de notre capacité à produire et à développer méthodiquement des concepts et des propositions ? Sont-elles un simple jeu de notre faculté logique ? B - D'étranges coïncidences La physique classique a justement pris son essor lorsqu'elle a recouru aux mathématiques.

Celles-ci ne sont pas seulement une école de rigueur, elles servent aussi à dévoiler l'ordre du monde.

Pour Galilée, notamment, les mathématiques expliquent la nature parce que « le livre de l'univers est écrit en langue mathématique ». Les coïncidences entre des systèmes logico-formels et la réalité physique sont, il est vrai, aussi fréquentes que surprenantes.

Les géométries non euclidiennes, élaborées au siècle dernier par Riemann et Lobatchevski, et considérées alors comme de pures constructions intellectuelles, ont été employées par la physique quantique pour rendre compte de la structure subatomique de la matière.

Étrange savoir que les mathématiques : elles bâtissent des édifices conceptuels indépendants de l'expérience et donnent pourtant à comprendre le système du monde.. »