PHILOSOPHIE DES MATHEMATIQUES

« PHILOSOPHIE DES MATHEMATIQUES Au cours des siècles le caractère des mathématiques a changé et ceci n'est pas sans influence sur la philosophie des mathématiques, c'est à dire sur l'interprétation que l'on donne de la nature des objets mathématiques.

La philosophie grecque des mathématiques est largement influencée par le rôle dominant de la géométrie.

La philosophie moderne des mathématiques, dans un contexte où domine l'algèbre, se focalise sur les relations entre les mathématiques et la logique, et sur les problèmes de fondements des mathématiques.

En ce qui concerne la nature des objets mathématiques on distingue les philosophies réalistes et les philosophies conventionnalistes.

Les ontologistes et les formalistes qui dominent alternativement le discours mathématique. Depuis David Hilbert c'est l'approche formaliste qui prime à travers les développements des axiomatiques et du structuralisme.

Les ontologistes comme A.

Connes postulent l'existence d'une réalité mathématique préalable à l'élaboration des concepts.

Le réalisme mathématique, comme tout réalisme, soutient que les entités mathématiques existent indépendamment de l'esprit humain.

Les mathématiques ne sont pas construites par l'esprit, mais sont découvertes par le mathématicien.

Le réalisme mathématique prend des formes différentes : le platonisme, qui suggère que les entités mathématiques sont des réalités abstraites existant dans un monde idéal hors des sens, le logicisme, qui traduit tous les concepts de mathématique en termes logiques, et l'empirisme, pour lequel les objets mathématiques proviennent de découvertes expérimentales.

Dans le cadre du réalisme mathématique, le structuralisme mathématique substitue les structures aux objets traditionnels (points, lignes, nombres..) ouvrant ainsi la voie à un réalisme structural.

Le conventionnalisme mathématique prétend que les symboles mathématiques ne renvoient à aucune entité réelle, mais sont des signes conventionnels qui ne désignent à priori aucune réalité transcendante ni extérieure, et qui sont liés entre eux par la cohérence des principes de déduction à partir de concepts et d'axiomes fondateurs.

Les mathématiques sont une manipulation de signes vides de sens et les vérités mathématiques sont purement formelles (formalisme).

Tout comme le conventionnalisme l'intuitionnisme est antiréaliste , en soutenant que les objets mathématiques sont des formes à priori de notre esprit, en accord avec les conceptions kantiennes.

Il s'oppose ainsi au cognitivisme autre forme d'anti-réalisme, qui considère que notre esprit construit les objets mathématiques à partir de l'expérience sensible.. »