Notes de cours: LES MATHÉMATIQUES.

« Le mathématicien construit ses notions, parvient à rattacher à leurs fondements logiques les vérités qu'il découvre, n'admet d'autre évidence que rationnelle. L'objet des mathématiques semble donc appartenir à l'essence même de l'esprit, et ne le point contraindre.

En fait, il est nature, mais nature si abstraite que la pensée peut le connaître en raisonnant selon ses propres lois.

Satisfait par cette reconstruction parfaite, l'homme a toujours rêvé d'étendre à toutes sciences la méthode mathématique. Mais le concret ne se laisse point pénétrer de la sorte: l'esprit, pour le saisir, doit renoncer à sa liberté, et se plier à l'expérience. A.

Objet des mathématiques. En prenant le mot "grandeur" en son sens le plus général (on entend par grandeur, tout ce qui est susceptible d'augmentation et de diminution, aussi bien un nombre qu'une portion d'espace), on peut dire que les mathématiques sont la science des grandeurs. En ce sens, les mathématiques apparaissent comme les plus abstraites et les plus générales des sciences.

La logique formelle (qui traite des concepts, des jugements et des raisonnements indépendamment de leur contenu, et qui pourrait ainsi paraître plus générale encore) n'est pas science à proprement parler.

Elle n'étudie pas ce qu'il y a de plus général dans les choses, mais la pensée elle-même.

Aussi, prend-elle un caractère normatif: son but est de déterminer les conditions de la pensée juste.

Elle appartient à la philosophie. a) Les mathématiques pures considèrent les idées de quantité, de nombre et de rapport sans les supposer en aucun objet particulier. Ainsi, l'arithmétique étudie le nombre indépendamment de son contenu.

L'algèbre, plus abstraite encore, désigne un nombre quelconque par une lettre et, laissant toute valeur particulière indéterminée, n'étudie que des rapports entre les valeurs: y = x3 + 6. b) Avec la géométrie intervient la notion de grandeur concrète, d'espace.

La géométrie est "la science des propriétés de l'étendue" ou, si l'on veut, "la science des formes ou des figures qu'il est possible de tracer dans l'espace" (Lalande).

On peut donc considérer la géométrie comme une première application des mathématiques. Les grandeurs concrètes peuvent être comparées les unes aux autres, déterminées les uns par rapport aux autres: autrement dit, elles peuvent être mesurées.

Or, la géométrie tend à ne plus considérer dans une grandeur que le fait qu'elle est mesurable.

Elle ramène donc la notion de grandeur concrète à la notion de quantité mesurable. c) On peut se demander, dès lors, s'il y a une mathématique ou des mathématiques, et s'il ne convient pas de distinguer les mathématiques concrètes (telle la géométrie, étudiant l'espace) et les mathématiques pures, étudiant les quantités discontinues. Mais, ces deux parties tendent à s'unir: les mathématiques sont un effort vers la quantité pure, et cet effort a, dans une large mesure, abouti.

Descartes a montré que l'objet de la géométrie peut être exprimé dans le langage des équations: il a découvert en effet la géométrie analytique, qui "traduit les figures et les propriétés géométriques au moyen de l'analyse, c'est-à-dire de l'algèbre, en exprimant chaque point d'une figure par ses coordonnées." (Lalande).

Le calcul infinitésimal (découvert par Newton et Leibniz) a permis d'exprimer les variations continues dans le langage du nombre. B) Les définitions mathématiques. On appelle "définition", une proposition nous faisant connaître les caractères essentiels d'un objet ou d'une idée.

S'il s'agit d'un objet d'expérience sensible, la définition est toujours incertaine et provisoire: on peut avoir mal observé, pris pour des éléments généraux de simples accidents, négligé des caractéristiques qui seront découverts par la suite. Au contraire, la définition mathématique semble spécifier l'essence même de ses objets: elle n'apparaît pas, en effet, comme le résultat d'expériences multiples opérées sur un réel donné; il semble que ce soit par elle que le mathématicien se donne l'objet qu'il va étudier. Les définitions mathématiques énoncent le plus souvent la loi de construction d'un nombre ou d'une figure: elles sont constructives et génératrices (ainsi, le cercle est la figure engendrée par le mouvement d'un point qui se meut dans un plan en restant toujours à la même distance d'un point fixe appelé centre). A la différence de la définition empirique, celle des mathématiques paraît donc être la cause et non l'effet de son objet.

Elle ne dépend pas d'une réalité extérieure à elle, elle pose et engendre une nature.

Elle est "a priori" et, par là même, claire et universelle, définitive et immuable. En toutes les sciences, on distingue l'objet -qui est ce sur quoi porte la science-, et la méthode -qui est l'ensemble des procédés mis en oeuvre pour connaître l'objet.

Il y a une extériorité de l'objet et de la méthode, celle-ci résultant précisément de l'effort fait pour réduire l'objet. En mathématique, au contraire, il semble que l'objet soit intérieur, intrinsèque à la méthode, puisqu'il paraît crée par les définitions: on peut donc se demander quelle est la véritable nature de cet "objet mathématique" et si les mathématiques doivent être considérées comme des sciences de la Nature à l'instar de la biologie, de la physique, ou comme des sciences de l'esprit tel que la métaphysique? Les rationalistes ont prétendu que les notions mathématiques étaient extraites de notre propre esprit. »