Montrer est-ce démontrer?

« Analyse du sujet : Un sujet difficile demandant de bien omettre en évidence la différence entre la simple présentation de quelque chose et le raisonnement analytique (ou éventuellement synthétique) qui en rend compte en vue de convaincre. Conseils pratiques : Interrogez-vous sur les différents types de démonstration que vous connaissez (mathématique, philosophie, etc.).

Demandez-vous pourquoi, dans certains domaines (les Beaux-Arts, par exemple), la démonstration est impossible.

Montrez qu'on ne peut tout démontrer. Difficulté du sujet : * * * Nature du sujet : Pointu. INTRODUCTION Il arrive que le langage courant confonde,le contact empirique avec les choses avec une démonstration.

Lorsqu'un enfant demande qu'on «lui montre (comment faire ou réussir une manipulation), sans doute est-ce pour apprendre quelque chose, mais cet apprentissage équivaut-il à une démonstration ? I.

EMPIRIQUE ET RATIONNEL Montrer renvoie aux sens, en particulier à la vue.

On montre toujours, au moins métaphoriquement, «du doigt»: on reste dans le domaine du concret, de l'empirique. — Au contraire, la démonstration implique: • une référence à la logique stricte; • l'usage de concepts ou de symboles, et non de réalités concrètes. II.

DÉMONSTRATION MATHÉMATIQUE — Insister sur son caractère a priori (indépendant de l'expérience). « Les jugements mathématiques sont tous synthétiques.

Cette proposition semble avoir échappé jusqu'ici à l'observation de tous ceux qui ont analysé la raison humaine, et elle paraît même en opposition avec toutes leurs suppositions ; elle est pourtant incontestablement certaine, et elle a une grande importance par ses résultats.

En effet, comme on trouvait que les raisonnements des mathématiques procédaient tous suivant le principe de contradiction (ainsi que l'exige la nature de toute certitude apodictique), on se persuadait que leurs principes devaient être connus aussi à l'aide du principe de contradiction, en quoi l'on se trompait ; car si le principe de contradiction peut nous faire admettre une proposition synthétique, ce ne peut être qu'autant qu'on présuppose une autre proposition synthétique, d'où elle puisse être tirée, mais en elle-même elle n'en saurait dériver. Il faut remarquer d'abord que les propositions proprement mathématiques sont toujours des jugements a priori et non empiriques, puisqu'elles impliquent une nécessité qui ne peut être tirée de l'expérience.

Si l'on conteste cela, je restreindrai alors mon assertion aux mathématiques pures, dont la seule idée comporte qu'elles ne contiennent point de connaissances empiriques, mais seulement de connaissances pures a priori.

» KANT. D'après la tradition rationaliste antérieure à Kant, les propositions mathématiques ne viennent pas, et ne dépendent pas, de l'expérience car on y considère qu'aucun fait ne peut les corriger.

Kant n'est pas l'initiateur de l'idée que les mathématiques sont a priori, mais on lui doit d'avoir répandu l'affirmation que les propositions mathématiques sont logiquement (et non psychologiquement ni chronologiquement) antérieures à l'expérience qui les présuppose.

Plus personnelle chez Kant est la raison donnée : à l'origine des mathématiques on trouve les intuitions de l'espace et du temps, l'intuition de l'espace est à l'origine de la géométrie, celle du temps, à l'origine de l'arithmétique.

Or l'espace et le temps (c'est bien de l'espace et du temps physiques qu'il s'agit) ne sont pas des êtres naturels indépendants de l'humanité, mais des formes pures a priori de la sensibilité.

C'est donc le caractère a priori de l'espace et du temps qui explique le caractère a priori des mathématiques. Conscient du progrès des mathématiques, Kant ne pouvait pas croire que leurs jugements soient des tautologies, des énoncés analytiques, le dédoublement sans fin d'une identité où le prédicat d'une proposition ne fait que déployer une partie du contenu du sujet.

Les jugements mathématiques sont synthétiques, le prédicat est censé ajouter une information concernant le sujet de la proposition, introuvable dans l'analyse de son contenu.

Une fois la profondeur de l'idée de Kant reconnue, il faut signaler certains problèmes pour lesquels on ne trouve pas de solution aisée dans le système kantien : (1) comment croire que l'espace et le temps dans lesquels habitent les animaux, les hommes et les étoiles, dépendent de l'humanité ? (2) La vision de Kant sur le temps est structuraliste, comment croire que le concept de temps ne puisse pas évoluer ? (3) Il existe plusieurs géométries, laquelle décrit l'espace,. »