Mathématiques: la crise des fondements

« Termes du sujet: FONDEMENT: a) Ce sur quoi repose "en droit" une certaine connaissance.

Qui sert de base à un édifice conceptuel.

Synonyme de principe.

b) Ce qui donne à quelque chose sa justification, sa légitimité. MATHÉMATIQUE: ensemble des sciences hypothético-déductives ayant pour objet les nombres, les figures géométriques, les structures algébriques et topologiques, les fonctions, le calcul intégral et le calcul des probabilités.

Les mathématiques se distinguent des sciences naturelles par le fait que leurs objets sont a priori, cad indépendants de l'expérience sensible. La liberté créatrice La théorie des ensembles élaborée par le mathématicien allemand Cantor (1845-1918) semblait susceptible d'unifier les diverses branches des mathématiques.

La logique triomphait et l'intuition était définitivement exclue des mathématiques et de la logique. Mais Russell découvre que cette théorie des ensembles produit des antinomies.

Par exemple: l'ensemble-de-tousles-ensembles-qui-ne-se-contiennent-pas-eux-mêmes-comme-éléments se contient-il lui-même comme élément? Les réponses affirmative ou négative peuvent ici se justifier. Limites et réponses • Si l'on ne peut fonder les mathématiques ni sur l'intuition, ni sur l'axiomatique, sur quoi les fonder? Trois courants essaient de résoudre ces difficultés : – le logicisme de Russell : logique et mathématiques ne font qu'une.

Toutes les propositions sont purement formelles et ne sont vraies qu'en vertu de leur forme ; – l'intuitionnisme de Brouwer : les règles logiques ne suffisent pas à se prémunir des paradoxes.

C'est, en dernière instance, l'intuition qui doit juger de la validité des règles logiques ; – la reconstruction axiomatique de la théorie des ensembles par Zermels puis Hilbert : sauver ce dont on a besoin dans la théorie des ensembles et éliminer ce qui a rendu possibles les antinomies. • Avec les géométries non euclidiennes, vérité empirique et cohérence interne sont définitivement dissociées.

La vérité ne se réduit-elle donc qu'à un formalisme? K.

Gödel démontra l'impossibilité d'une telle réduction : par exemple si l'arithmétique est non contradictoire, la démonstration de cette non-contradiction ne peut être effectuée à l'intérieur du formalisme arithmétique.

La pensée n'est donc pas réductible à des lois, à des procédures, susceptibles d'être définies une fois pour toutes.. »