L'évolution de la notion de vérité en mathématiques ?

« Dans la géométrie euclidienne, «les termes propres à la théorie ne sont jamais introduits sans être définis ; les propositions n'y sont jamais avancées sans être démontrées, à l'exception d'un petit nombre d'entre elles qui sont énoncées d'abord à titre de principes : la démonstration ne peut en effet remonter à l'infini et doit bien reposer sur quelques propositions premières, mais on a pris soin de les choisir telles qu'aucun doute ne subsiste à leur égard dans un esprit sain» (R.

Blanché, L'Axiomatique, 1970). Axiomes, postulats, théorèmes On distinguait encore au début du XIXe siècle : – l'axiome, proposition indémontrable et absolument évidente (par ex.

: «deux choses égales entre elles sont égales à une même troisième») ; – et le postulat, proposition indémontrable, également, mais, censément, moins «évidente» (par ex.

: «toute droite peut être prolongée indéfiniment»). Enfin, on appelait (et on appelle encore) théorèmes les propositions démontrées à l'aide de ces propositions indémontrables. On s'essaya donc, à partir du XVIIe siècle, de démontrer tel ou tel des postulats euclidiens, afin de le faire passer dans le corps des théorèmes et de réduire ainsi le nombre des propositions acceptées sans démonstration. Les géométries non-euclidiennes Ce fut, précisément, l'échec des tentatives faites pour démontrer un certain postulat d'Euclide (lequel affirmait que par un point extérieur à une droite, il passe une parallèle à cette droite et une seule) qui aboutit à la constitution des premières géométries non-euclidiennes (Lobatchevski, 1826 ; Riemann, 1853). La somme des angles d'un triangle est-elle égale, inférieure ou supérieure à deux angles droits ? Des trois cas concevables, un géomètre ancien eût répondu que seul le premier était vrai.

«Pour un moderne, il s'agit là de trois théorèmes distincts, qui ne s'excluent mutuellement qu'à l'intérieur d'un même système, selon que le nombre des parallèles est postulé égal, supérieur ou inférieur à un» (R Blanché, L'Axiomatique, 1970). Le théorème mathématique comme construction de l'esprit Jusqu'au début du XIX siècle, on avait donc considéré, somme toute, qu'un théorème de géométrie était à la fois un renseignement sur les choses et une construction de l'esprit, une loi physique et une pièce d'un système logique, une vérité de fait et une vérité de raison.

Le mathématicien ne considère plus aujourd'hui un tel théorème que comme une construction de l'esprit, une pièce d'un système logique, une vérité de raison. C'est pourquoi la distinction entre axiomes et postulats n'a plus lieu d'être, et les deux termes sont aujourd'hui employés indifféremment.. »