Les mathématiques sont-elles une science comme les autres ?

« Interrogez-vous sur la spécificité de " l'objet " mathématique.

Y a-t-il un spécificité ? De quoi les mathématiques traitent-elles ? Qu'est-ce que le réel pour un mathématicien ? S'agit-il de la même réalité que celle étudiée par le physicien ou le biologiste par exemple ? Quel est le statut de la mathématique au sein de la science en général ? Peuvent-elles constituer un modèle de scientificité ? (sur ce point, cf.

Descartes dans le Discours de la méthode ou l'intérêt que porte Platon aux mathématiques et à la géométrie en particulier : " Que nul n'entre ici s'il n'est géomètre ".) Les mathématique commercent avec des idées, des chiffres et des abstractions.

Pour cette raison, elles ont effectivement un statut à part dans le champ de la connaissance mais doit-on les considérer comme une discipline étrangère aux autres matières à caractère scientifique ? Bien au contraires, elles doivent être introduites dans toutes les sciences pour permettre la formulation de lois et de théories. [Les objets mathématiques s'imposent à l'esprit avec la même nécessité que les objets étudiés par les autres sciences.

En mathématiques, comme en toute autre science, l'on part d'une hypothèse et l'on en déduit des principes.

L'esprit est autant soumis aux objets mathématiques qu'il l'est aux phénomènes naturels.] Toutes les sciences sont initialement hypothético-déductives Même dans les sciences expérimentales, on commence d'abord, comme l'a montré Claude Bernard dans Introduction à l'étude de la médecine expérimentale, par émettre une hypothèse permettant de construire, par déduction, une théorie.

Claude Bernard montre bien que, sans hypothèse, il n'existe pas de méthode expérimentale.

Une idée anticipée est le point de départ de tout raisonnement expérimental.

Sans cela, le savant ne pourrait qu'accumuler des observations stériles.

Il n'existe donc pas de différence entre les mathématiques et les autres sciences. Il n'existe pas plusieurs logiques La même logique préside à toutes les sciences.

Le mathématicien, comme le chimiste ou le biologiste, respecte des règles logiques qui ne caractérisent aucune science en particulier mais toutes.

Elles sont naturellement mises en oeuvre par l'esprit rationnel. Aristote, dans sa "Logique" a étudié ces principes de la raison humaine sur lesquels se fonde toute démarche rationnelle. a) Le principe d'identité. C'est d'abord le principe d'identité qui est à tel point fondamental et nécessaire (sans lui aucune pensée ne serait possible) que son énoncé déconcerte toujours un peu (tant il paraît aller de soi) : « Ce qui est, est ; A est A ».

Par exemple, lorsque le géomètre a défini le triangle et qu'il entreprend de déduire toutes les propriétés des triangles, il va de soi qu'il prend toujours le concept de triangle au sens où il l'a défini.

Le sens de ce concept reste identique dans tous les moments du raisonnement.

Sans cela notre pensée serait tout à fait incohérente. On le formule ainsi : « Une chose est ce qu'elle est » ou encore « A est A ».

Ce principe fondamental exprime simplement le besoin qu'a la pensée d'être en accord avec elle-même.

Il nous oblige à ne pas changer la définition des concepts en cours de raisonnement. b) Le principe de non-contradiction. Sa formule est : « Une chose ne peut pas, en même temps, être et n'être pas » ou encore « A n'est pas non A ». Aristote a donné de ce principe la définition suivante : « Un même attribut ne peut pas être affirmé et nié d'un même sujet en même temps et sous le même rapport.

» Par exemple, o ne peut pas dire à la fois d'une plante qu'elle est verte et qu'elle n'est pas verte. Le principe de Contradiction n'est que la forme négative du principe d'identité.

Aristote l'énonce ainsi : « Il est impossible que le même attribut appartienne et n'appartienne pas au même sujet sous le même rapport.

»Par exemple, le cheval d'Henry IV ne peut pas être à la fois blanc et non blanc.

Le principe.

Ou bien il pleut, en ce moment, ou il ne pleut pas.

Le principe du tiers exclu élimine une troisième éventualité. c) Le principe du tiers exclu.. »