Les mathématiques sont-elles un instrument, un langage ou un modèle pour les autres sciences ?

« RAPPEL DE COURS: LE MODELE MATHEMATIQUE À partir du xviie siècle s'impose pour toutes les branches de la connaissance un idéal de rationalité dont le modèle est mathématique.

Les mathématiques proposent en effet, à l'exemple de la géométrie d'Euclide, un ordre des raisons qui passe pour applicable quels que soient les objets de connaissance et qui est tel qu'il peut conduire l'esprit, par déduction de proche en proche, à toutes les vérités.

Telle est l'idée de Descartes d'une « mathématique universelle ».

La démonstration n'est plus alors considérée simplement comme une formalisation du raisonnement rigoureux mais comme un moyen de découvrir des vérités nouvelles.

Mais pour être sûr de l'efficacité de ce moyen, il ne suffit pas qu'une proposition soit correctement démontrée à partir de propositions antérieures.

Encore faut-il que celles-ci l'aient été d'autres plus fondamentales encore, jusqu'à ce qu'on remonte à des propositions premières indémontrables.

Mais comment saura-t-on que celles-ci sont vraies ? La réponse de Descartes est qu'elles sont connues de façon immédiate par l'esprit.

À la base de toute démonstration, il faut, dit Descartes, qu'existent des idées dont la vérité se voit d'elle-même et qui n'ont pas besoin pour cette raison d'être démontrées : c'est-àdire des évidences (ce que Descartes appelle encore « intuitions »). Mais l'évolution même des mathématiques, notamment le développement, au xixe siècle, des géométries non euclidiennes, aboutit à la remise en cause de la notion d'évidence.

En effet, dans la géométrie d'Euclide, il est postulé que « par un point extérieur à une droite on ne peut faire passer qu'une parallèle à cette droite ». Les géométries non euclidiennes partent d'un postulat inverse : par un point extérieur à une droite on peut faire passer une infinité de parallèles (géométrie de Lobatchevski) ou aucune (géométrie de Riemann).

La possibilité d'enchaîner de façon rigoureuse la démonstration de théorèmes à partir de tels postulats montre que la valeur d'un système déductif tient à sa seule forme, indépendamment de l'évidence intuitive du contenu de ses propositions. En d'autres termes, s'il est possible de construire des géométries formellement rigoureuses sur des bases non euclidiennes, c'est que les points de départ de ces systèmes déductifs ne sont donc pas des vérités évidentes par elles-mêmes (en langage d'Euclide des axiomes), mais de simples postulats, sur la vérité desquels on ne se prononce pas et auxquels on demande seulement de permettre le développement de conséquences non contradictoires.

Le projet propre aux mathématiques contemporaines de construire des axiomatiques, c'est-à-dire des systèmes déductifs entièrement formalisés à propos desquels on ne pose pas le problème de la vérité ni même du sens des propositions qui le constituent, confirme cette orientation.

Le philosophe et logicien Robert Blanche suggère d'ailleurs de remplacer le terme « axiomatique » par celui de « postulatique ». Définition des termes du sujet : Définir les mathématiques, ce qu'implique ici l'emploi du verbe « être » est une tâche complexe : sont-elles simplement une science des nombres, ou plus que cela ? En fait c'est justement cette tâche de définition des mathématiques qui est en jeu ici, d'une manière orientée, puisque le sujet donne trois alternatives possibles : les mathématiques, présuppose le sujet, sont ou bien un instrument, ou bien un langage, ou bien un modèle pour les autres sciences. Un instrument, c'est un outil, créé par l'homme, pour accomplir telle ou telle opération ; un instrument a une visée directement utilitaire, il est supposé servir à quelque chose, transformer avec efficacité ce sur quoi il est appliqué. Un langage, c'est un ensemble de codes partagés pas un certain groupe dans le but de pouvoir établir une communication, exprimer les mêmes choses et renvoyer aux mêmes réalités par des mêmes signes. Un modèle, c'est un objet (concret ou abstrait – un ensemble de lois peut être un modèle) que l'on copie, auquel on se réfère comme à une norme, que l'on peut transposer à d'autre réalités que lui-même. Ces trois définitions rapides des alternatives proposées pour la définition des mathématiques doivent servir de base à l'examen. On remarque que ces trois propositions définissent les mathématiques par leur fonction, et pas par leur être.

Quelle est la pertinence de cette présupposition générale ? Les mathématiques ont une utilité indéniable : elles permettent tout simplement de calculer tout ce qui doit l'être, que ce soit en physique ou dans la vie quotidienne.

Elles sont un. »