La démonstration peut-elle prétendre à la consécration de l'évidence ?

« La présence dans le mot démonstration de l'acte de montrer évoque l'exposition au regard d'un public de la vérité d'une assertion, d'un raisonnement.

L'objectif d'une telle « monstration » est de rendre indubitable la conclusion mise à l'épreuve.

Donnons quelques propriétés fondamentales de la démonstration.

Premièrement, la démonstration est une procédure, c'est-à-dire une série d'actes conduisant à une conclusion, et cela en suivant un ensemble de règles.

Deuxièmement, la démonstration est de nature discursive, c'est-à-dire qu'elle s'exprime dans des discours, des énoncés, ou plus généralement qu'elle est extériorisée (sur un support d'écriture par exemple).

Troisièmement, elle engage un raisonnement tant de la part de celui qui fournit la démonstration que de celui qui la reconnaît comme valide ; ce n'est qu'en vertu d'un tel raisonnement que la démonstration peut prétendre « montrer » la vérité.

Aussi, l'évidence est ce qu'on peut montrer publiquement, ce qu'on peut prouver.

Elle a une valeur publique qui est capable de mettre un terme à des disputes ou à l'obscurantisme.

De ce point de vue, la démonstration serait la consécration de l'évidence ou réclame-t-elle un savoir, et de ce point de vue resté obscur à certains ? 1) La démonstration comme critère scientifique. On peut se demander s'il est possible de dégager un critère général de scientificité, susceptible de s'appliquer à toutes les disciplines auxquelles on reconnaît la qualité de « science ».

La notion d'opération semble pouvoir fournir une réponse, au moins de principe, à cette question.

On retrouve l'intervention de l'opération, en effet, tant au niveau des démarches purement formelles qu'au niveau des démarches expérimentales, voire au niveau des constructions interprétatives.

Cela suggère que l'intelligibilité, la crédibilité et l'efficacité propres du savoir scientifique lui viennent de son caractère opératoire, et que c'est en définitive ce caractère qui confère à la science son statut distinctif.

Serait scientifique tout savoir qui aurait réussi à inscrire ses pratiques (constructives, déductives, expérimentales, évaluatives, voire fondationnelles) dans le cadre d'un jeu réglé d'opérations, c'est-à-dire de transformations régies par des schémas formels.

L'élucidation des mécanismes fondamentaux des pratiques opératoires, telle que la logique combinatoire tente de la poursuivre, constituerait alors le programme par excellence d'une fondation scientifique de la science.

Et l'on retrouverait la logique dans son rôle naturel d'instance fondatrice. 2) L'évidence de la démonstration. Selon Aristote dans les Premiers et Seconds analytiques Toute connaissance nous vient de la sensation, mais la sensation ne saurait fournir à elle seule des principes car elle ne porte que sur le singulier alors qu'il faut de l'universel.

C'est par l'induction que l'on passe du singulier à l'universel.

L'induction fournit au syllogisme les prémisses.

La démonstration tire les conséquences de l'induction.

Aussi induire est impossible pour qui n'a pas la sensation.

Pour comprendre l'induction il faut distinguer l'ordre de l'être et de la connaissance qui ne sont pas toujours accordés.

Dans le syllogisme, notre pensée se conforme à l'ordre de la nature, l'induction consiste à prendre cet ordre à rebours.

L'induction part de la conclusion pour aller vers la majeure.

Il faut procéder à une conversion.

Le vrai syllogisme doit avoir une vertu explicative.

L'induction n'est qu'un préalable à la science.

Il y a une autre opération qui mène de l'individu à l'espèce et sans laquelle on ne pourrait construire aucune notion générale, une sorte d'induction spontanée, une intuition.

Une fois acquise les connaissances fournies par l'induction pourra commencer la science.

La science, c'est le savoir qui assuré par la démonstration, et la démonstration, c'est le syllogisme constitué par une prémisse nécessaire.

Il faut que la connaissance parte de prémisses qui soient vraies, premières, immédiates, plus connues que la conclusion, antérieure à elle, et dont elles sont les causes.

Des vérités qui n'ont pas besoin d'être démontrées.

Ce sont des principes.

Il faut qu'ils soient cause de la conclusion, car la science, c'est la connaissance des causes.

«Connaître une chose, revient à savoir pourquoi elle est.

» Le rôle du moyen terme est de fournir la cause.

Il appelle antérieurs et plus connus pour nous les objets les plus rapprochés de la sensation, et antérieurs et plus connues d'une manière absolue les objets les plus éloignés des sens Les causes les plus universels sont les plus éloignées des sens ; les prémisses seront plus connus que la conclusion.

La nécessité des principes transmet leur nécessité à leur conclusion. 3) Une évidence à repenser. L'idée de système formel ne fait elle-même que donner une formulation précise à celle de démonstration.

C'est cette dernière qui est la base du principal critère de validation dans les sciences formelles : est acceptable ce qui est démontrable.

Démontrer une proposition, c'est la rattacher par une série d'étapes, dont chacune consiste en l'application d'une règle préalablement reconnue, à une ou à plusieurs propositions premières, dont la validité est supposée préalablement acceptée.

La notion de démonstration soulève dès lors la question de la validité des règles et des axiomes.

Dans la conception ancienne de l'axiomatique, on résolvait cette question en faisant appel à l'évidence intuitive ; il suffisait, pensait-on, de mettre en jeu des règles suffisamment simples pour qu'elles apparussent immédiatement comme légitimes (c'est-à-dire comme capables d'assurer la propagation de la vérité des prémisses aux conséquences) et des propositions suffisamment fondamentales pour qu'elles apparussent comme évidentes par elles-mêmes et, dès lors, comme acceptables sans démonstration.

Les développements modernes (en particulier, l'apparition des géométries non euclidiennes et, plus tard, des paradoxes) ont conduit à une mise en doute systématique des vertus de l'intuition et à une radicalisation des procédures de formalisation.

Ainsi s'est fait jour une nouvelle conception de l'axiomatique, selon laquelle le critère ultime de validité est la noncontradiction.

Il s'agit là d'une propriété purement formelle. Conclusion. Il apparaît que la démonstration est le meilleur moyen de dissiper des obscurités, des malentendus.

La véritable démonstration peut être refaite par chacun à tout moment et ne dépend en rien des particularités individuelles.

De ce point de vue, elle est la consécration de l'évidence, de ce qui ne peut plus être objet de contestation.

Mais, il faut méfier d'une évidence trop claire et interroger les principes qui sont à la base de celle-ci.

Il faut pour cela démontrer tout ce qui peut l'être pour atteindre une scientificité maximale.. »