Existe-t-il un objet mathématique ?

« Position de la question.

On caractérise parfois les Mathématiques comme une science purement formelle, voire comme un simple instrument au service des autres sciences.

En réalité, les Mathématiques ont bien un objet qui leur est propre.

Mais cet objet peut être conçu de deux façons un peu différentes, selon que l'on considère surtout ce que COMTE a appelé les « Mathématiques concrètes », c'est-à-dire la Géométrie et la Mécanique, ou bien les Mathématiques pures ou abstraites. I.

L'objet des « Mathématiques concrètes ». Selon COMTE, ces dernières sont seules « instrumentales », tandis que « la Géométrie et la Mécanique doivent être envisagées comme de véritables sciences naturelles ».

Celles-ci ont donc un objet, et même un objet qui, bien qu'il ait été idéalisé par la suite, est à l'origine quelque peu empirique (sujets 96 et 98, § I).

Cet objet, ce sont, pour la Géométrie, les formes et les structures de l'espace (pour la Topologie, les relations de position entre ses éléments) et, pour la Mécanique, les modalités du mouvement et des forces qui la déterminent.

Certes, l'application de l'analyse mathématique modifie quelque peu ce double objet.

Mais, selon COMTE (Cours, XIe leçon), vouloir faire rentrer la science « dès son origine » dans le domaine de l'analyse, « ce serait vouloir imposer à des théories portant sur des phénomènes effectifs de simples procédés logiques et les priver ainsi de tout ce qui constitue leur corrélation nécessaire avec le monde réel ».

De ce point de vue, les Mathématiques dites « concrètes » ont donc bien un objet qui leur est propre. II.

L'objet des Mathématiques pures. L'objet des Mathématiques pures, qui sont les Mathématiques proprement dites, est cependant beaucoup plus abstrait.

A l'étendue continue, elles substituent le « nombre discret » (N.

BOURBAKI, in LE LIONNAIS, Les gr. courants de la pensée math., p.

35).

Dans la conception axiomatique, leur seul objet propre, ce sont des structures s'appliquant à des ensembles d'éléments quelconques, dont la nature n'est plus spécifiée.

Selon N.

BOURBAKI, ces structures sont de trois types principaux. A.

— Ce sont d'abord des groupes.

Un ensemble d'éléments forme un groupe quand il est soumis à une loi de composition, c'est-à-dire quand il existe entre trois de ses éléments x, y, z une relation qui détermine le troisième z (dit alors le « composé » des deux premiers) de façon unique en fonction Du couple x, y. B.

— Ce sont ensuite les relations d'ordre.

Ainsi, dans l'ensemble des entiers, il peut exister une relation entre deux éléments x et y telle que x soit au plus ;égal à y, ce qui s'écrira : x < y, ou plus généralement : x R y. C.

— Ce sont enfin les structures topologiques, les relations de position entre les éléments d'un champ spatial, auxquelles il a déjà été fait allusion. Conclusion.

La conception axiomatique unifie l'objet des Mathématiques, puisque, tout en les dépouillant de ce qu'elles ont de concret et de spécifique, elle englobe même les objets des Mathématiques « concrètes ».

Cet objet, ce sont alors des structures, des formes abstraites, s'appliquant à des ensembles d'éléments qui ne sont plus nécessairement des points ni des nombres.. »