Existe-t-il un objet mathématique ?

« Vocabulaire: OBJET (n.

m., étym.

: latin ob-jectum : ce qui est placé devant ; chose).

1.

— Tout ce qui est présenté par la perception, avec un caractère stable et indépendant du sujet (objet externe) ; pour la phénoménologie, l'objet est déterminé par la visée de la conscience (cf. sens 3).

2.

— Tout ce qui se présente à un sujet, s'offre à la pensée, et qui est distinct de l'acte de représentation ou du sentiment (donc du sujet), c.-à-d.

aussi bien le percept, l'image, l'idée, que l'objet externe ou la personne aimée.

3.

— Le but qu'on se propose d'atteindre (cf.

un objectif). MATHÉMATIQUE: ensemble des sciences hypothético-déductives ayant pour objet les nombres, les figures géométriques, les structures algébriques et topologiques, les fonctions, le calcul intégral et le calcul des probabilités.

Les mathématiques se distinguent des sciences naturelles par le fait que leurs objets sont a priori, cad indépendants de l'expérience sensible. § 1.

La quantité comme objet des mathématiques Classiquement, on définissait les mathématiques comme la science de la quantité.

La grandeur est en quelque manière concrète.

Elle est qualifiée ou comme spatiale (longueur, surface, volume), ou comme mécanique (force, vitesse, accélération).

Si l'on fait abstraction de ces déterminations qualitatives, on aboutit à la quantité pure, dont l'expression est le nombre dit discret ou discontinu.

Mais, par la découverte de la géométrie analytique, Descartes a fait la synthèse du continu géométrique et du discontinu numérique.

Dans une telle conception, les mathématiques apparaissent comme une science idéale portant sur des êtres spécifiques ayant une existence indépendante et l'analyste Hermite (1822-1901) a pu écrire, dans l'esprit d'une sorte de platonisme : « Je crois que les nombres et les fonctions de l'analyse ne sont pas le produit arbitraire de notre esprit, je pense qu'ils existent en dehors de nous, avec le même caractère de nécessité que les choses de la réalité objective, et nous les rencontrons et les étudions, comme les physiciens, les chimistes et les biologistes.

» § 2.

L'ordre comme objet des mathématiques La découverte par Évariste Galois d e la théorie des groupes en 1831, fondée sur la seule considération des lois d e composition des symboles, et celle de ce que nous appelons Topologie par Riemann en 1851, où l'on ne tient compte que de la position des éléments des figures, à l'exclusion de toute notion de grandeur, sont venues ajouter à la notion de quantité celle d'ordre. § 3.

L'axiomatique mathématique moderne Le progrès de la réflexion mathématique sur les groupes, les relations d'ordre et les structures topologiques, a conduit à dépasser la conception classique, et a a m e n é le mathématicien anglais G.

Boole, en 1854, à cette déclaration révolutionnaire : « Il n'est pas de l'essence des mathématiques de s'occuper des idées d e nombre et de quantité.

» C'est dans cet esprit nouveau que s'est formée l'axiomatique moderne, qui se donne pour but de substituer aux disparates des mathématiques classiques l'unité de la mathématique. C e travail a été accompli principalement par l'Allemand Hilbert (1862-1943) et par l'Anglais Russell (1872-1970).

Alors qu'Euclide distinguait, dans les principes qui fondent les mathématiques, les axiomes, les postulats et les définitions, Hilbert conteste le caractère d'évidence prêté jusque là aux axiomes et ramène les divers principes à des axiomes, dont la fonction commune est d'établir une science cohérente.

Ces axiomes, notions de base ou hypothèses, sont posés arbitrairement comme tels.

Rejetant tout recours à l'intuition, on part avec Hilbert de «ce principe fondamental qu'en mathématiques la nature propre des êtres étudiés ne compte pas ; ce sont les relations de ces êtres entre eux qui comptent seules ».

Tel est le caractère propre d e l'axiomatique.

Une axiomatique est donc un système hypothéticodéductif, où sont totalement explicités les termes non définis et les propositions non démontrées, ces dernières étant posées comme de simples hypothèses, à partir desquelles toutes les propositions du système peuvent se construire selon des règles parfaitement fixées. Russell, qui suit dans ses Principia mathematica la même ligne, utilise la logique symbolique pour dériver d'un très petit nombre de concepts mathématiques et d'axiomes logiques des parties étendues des mathématiques et en tire l'extrême conséquence.

Considérant à la fois les conventions arbitraires du point de départ et le formalisme pur de la construction axiomatique, il va jusqu'à dire en une formule fameuse : « La mathématique est une science où l'on ne sait jamais de quoi on parle ni si ce qu'on dit est vrai.

» C'est cette idée qu'exprime avec netteté l'équipe de mathématiciens connue sous le nom de Nicolas Bourbaki.

La mathématique est aujourd'hui l'étude des différentes structures. Qu'est-ce qu'une structure mathématique? C'est un ensemble d'éléments dont la nature n'est pas spécifiée.

« Pour définir une structure, on se donne une ou plusieurs relations où interviennent ces éléments ; on postule ensuite que la ou les relations données satisfont à certaines conditions (qu'on énumère) et qui sont les axiomes envisagés.

Faire la théorie axiomatique d'une structure donnée, c'est déduire les conséquences logiques des axiomes de la structure, en s'interdisant toute autre hypothèse sur les éléments considérés (en particulier, toute hypothèse sur leur « nature » propre).

» La structure remplace l'objet mathématique. § 4.

Formalisme et intuition en mathématique L'objet s'est évanoui par la formalisation, mais la rigueur logique du système n'est-elle pas acquise au détriment de sa fécondité ? C'est la question toujours débattue entre les mathématiciens, logicistes ou intuitionnistes.

Ils admettent généralement que la méthode axiomatique a un pouvoir heuristique propre, c'est-à-dire un pouvoir d e découverte.

« L'emploi d e la méthode mathématique, écrit Dieudonné, membre de l'équipe Bourbaki, en montrant clairement d'où venait chaque proposition, quelles étaient, dans chaque cas, les hypothèses essentielles et les hypothèses superflues, a révélé des analogies insoupçonnées et permis des généralisations étendues : les développements modernes d'Algèbre, de Topologie, de Théorie des groupes, n'ont d'autre origine que la généralisation de l'emploi des méthodes axiomatiques.

» Mais, d'autre part, l'école intuitionniste s'efforce de montrer que, sous le formalisme pur, l'intuition est présente et qu'elle a une part importante dans la construction mathématique.

Comme l'a écrit Cartan (1869-1951), également membre du groupe Bourbaki, « on ne concevrait pas une Géométrie qui commence par dire : je considérerai des objets que j'appelle les uns des points, les autres des droites, les troisièmes des plans, si nous n'avions pas déjà des expériences antérieures qui nous fassent saisir d'une manière concrète ce que sont ces objets dont on nous parle, sans nous en dire la nature ».

N.

Bourbaki avoue, de son côté, : « Dans la conception axiomatique, la mathématique apparaît comme un réservoir de formes abstraites : les structures mathématiques ; et il se trouve, sans qu'on sache bien pourquoi, que certains aspects de la réalité expérimentale viennent se mouler en certaines de ces formes.

» Il semble donc que l'axiomatique et l'intuition représentent deux aspects complémentaires de la pensée mathématique.

L'axiomatique s'impose au mathématicien dans la présentation des résultats, « mais, écrit encore Dieudonné, elle n'amoindrit en rien le rôle d e l'intuition dans les découvertes ».

Aussi certains auteurs, comme le philosophe mathématicien Albert Lautman (1908-1944), en reviennent-ils d'une certaine manière aux vues d'Hermite, dont ils approfondissent la signification.

Les concepts mathématiques s e présentent comme des êtres intelligibles structurés par l'esprit, mais «en harmonie profonde avec la nature d e l'univers ».

La mathématique toucherait ainsi à l'essence même de l'être.. »