A quoi servent les mathématiques ?

« Introduction.

Les Mathématiques deviennent de plus en plus indispensables à toutes les sciences, principalement à celle de la nature.

Pourquoi? I.

Mathématiques et mesure. Les lois scientifiques ont cessé d'être qualitatives pour prendre la forme quantitative.

Dès lors, la science exige la mesure, de plus en plus précise, des phénomènes.

En tant que théorie de la mesure, les Mathématiques sont donc au moins l'instrument indispensable de toutes les autres sciences. Les Mathématiques portent sur des notions idéales qui, si elles ont eu quelques origines empiriques, ont été comme décantées par l'esprit de leur gangue sensible et ont été refondues par lui sur le plan de l'intelligible pur.

Dès lors, il leur est possible d'énoncer sur ces notions idéales des propositions rigoureusement exactes.

Lorsque la Géométrie énonce que la somme des angles du triangle vaut deux droits, que l'aire du triangle est égale au demi-produit de sa base par sa hauteur ou le volume de la pyramide au tiers du produit de sa base par sa hauteur, lorsque l'Algèbre nous enseigne que la somme des termes d'une progression arithmétique est le produit de la demi-somme des extrêmes par le nombre des termes, etc., ces propositions sont vraies rigoureusement, indépendamment de toute approximation. Bien entendu, cette « exactitude » ne s'applique qu'aux Mathématiques pures, aux figures idéales de la Géométrie, aux nombres abstraits, etc.

Dès qu'on passe aux applications empiriques, l'approximation apparaît.

Si je veux évaluer l'aire d'un champ triangulaire, la formule géométrique ne me donnera qu'une valeur approchée, parce que le champ n'est qu'approximativement un triangle, parce que les figures réelles ne sont jamais parfaitement régulières, parfaitement conformes à leur modèle idéal.

Il en est de même si je veux évaluer arithmétiquement un nombre irrationnel tel que ∏ : « Le nombre ∏ est défini très exactement par le rapport de la circonférence à son diamètre... C'est dans son évaluation par les moyens arithmétiques que cette notion est frappée d'inexactitude et rend nécessaires des procédés d'approximation » (BACHELARD).

J'aurais beau multiplier les décimales, leur nombre atteindrait-il cent ou mille, « nous resterions toujours aussi éloignés de l'exactitude absolue » avec laquelle le mathématicien définit le rapport de la circonférence au diamètre. II.

Mathématiques et systématisation. D'autre part, la science tend à la systématisation et à la déduction: des vérités d'abord aperçues comme indépendantes se coordonnent et tendent à former un système.

Or, la synthèse mathématique apparaît comme l'idéal et le modèle de cette systématisation déductive. Nul exemple n'est plus caractéristique que celui des Mathématiques.

Ce serait une erreur de croire que celles-ci, la Géométrie par exemple, se sont toujours présentées sous la forme que nous leur connaissons aujourd'hui, d'un système de principes, d'axiomes, de théorèmes, de corollaires, etc., liés les uns aux autres par la pure déduction.

Elles ont traversé, dans l'Égypte ancienne notamment, toute une phase empirique où elles ne consistaient guère qu'en « solutions concrètes de problèmes isolés, sans lien entre elles » et d'où tout « souci d'organisation rationnelle » était absent (Abel Ray).

Chez les Grecs eux-mêmes, la Géométrie demeura encore longtemps en cet état : ce fut seulement EUCLIDE qui en fit un système en établissant « l'ordre et l'enchaînement des propositions en séries déductives ».

Même chez lui, la systématisation est encore imparfaite : il ne sait pas voir, par exemple, dans la tangente un cas particulier (le cas limite) de la sécante; il étudie chaque courbe isolément.

Ce n'est donc que peu à peu que les Mathématiques sont devenues cet édifice logique, cette « architecture de l'intelligence » dont P.

VALÉRY célébrait l'harmonie en la comparant à celle d'un temple grec.

C'est cette « organisation de la rigueur » qui s'est parachevée de nos jours dans l'Axiomatique. Conclusion.

Ce rôle des Mathématiques dans la science pose d'ailleurs un problème philosophique d'ordre très général qui déborde notre sujet.

S'il y a ainsi une harmonie entre la pensée mathématique et la connaissance du réel, s'il y a, comme le dit N.

BOURBAKI, une « connexion étroite entre les phénomènes expérimentaux et les structures mathématiques », celles-ci sont peut-être plus qu'un instrument pour la connaissance de l'univers; elles sont peut-être le témoignage de la structure intelligible de celui-ci.. »