Vecteurs - Term EDS Maths

« Term EDS Maths Espace ière Géométrie dans l’espace : 1 Chap 3 partie Histoire des maths : Les mots "vector" chez les Romains et "vecteur" au Moyen-Age et jusqu'à la Renaissance désignaient le passager ou le conducteur d'un bateau ou d'un chariot. Il faut attendre 1844 pour que le mathématicien anglais William Hamilton utilise le mot vecteur dans son sens actuel. I. Vecteurs dans l'espace Les définitions et les calculs sur les vecteurs du plan peuvent être étendus à l'espace. Par exemple : Définition et propriétés de la colinéarité  Deux vecteurs non nuls 6 ,⃗ et 7⃗ sont colinéaires ssi ils ont ....................................................................... 6 ,⃗ et 7⃗ sont colinéaires ssi il existe un réel k tel que ……………………..  Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.  Les droites (AB) et (CD) sont parallèles ssi ,,,,,⃗ 1* et ,,,,,⃗ 2= sont colinéaires ,,,,,⃗ ,,,,,⃗  Les points A, B, et C sont alignés ssi 1* et 12 sont colinéaires Exercice 1 : ABCD est un tétraèdre. 1.

Construire ci-contre les points M et N tels que : ,,,,,,⃗ *+ . / 0 ,,,,,⃗ *1 et ,,,,,⃗ 23 .

2 ,,,,,⃗ *2 . 2.

Démontrer que les droites (MC) et (AN) sont parallèles. Règles de base sur les droites et les plans de l’espace  Par deux points distincts A et B, il passe une unique droite (AB).  Par trois points A, B et C non alignés, il passe un unique plan.

Il est alors noté ........................  Si A et B sont deux points distincts d’un plan P , alors tous les points de la droite (AB) appartiennent à P .

On dit que (AB) est contenue ou incluse dans P .  Dans un plan de l’espace, toutes les propriétés de la géométrie plane s’appliquent. Il suffit juste de préciser dans quel plan on se situe. Propriété : Caractérisation vectorielle d’une droite de l’espace (admise) Une droite (d) est définie :  soit par la donnée de deux points distincts A et B : M ∈ (AB)  il existe un réel k tel que …………………………………………  soit par la donnée d’un point et d’un vecteur directeur 6 ,⃗ : M ∈ (d)  il existe un réel k tel que …………………………………… Remarques : Une droite admet une infinité de vecteurs directeurs : si 6 ,⃗ désigne l’un d’eux, alors les autres vecteurs directeurs sont ...........................................................................................................................................................................................  Deux droites de l’espace sont parallèles ssi elles ont des .................................................................... Illustration : Propriété : Caractérisation vectorielle d’un plan de l’espace (admise) Un plan (P) est défini :  soit par la donnée de trois points non alignés A, B et C: M ∈ (ABC)  il existe deux réels x et y tels que …………………………………………………  soit par la donnée d’un point A et de deux vecteurs 6 ,⃗ et 7⃗ ……………………………………………….. M ∈ (P)  il existe deux réels x et y tels que …………………………………………………… Vocabulaire :  Les deux vecteurs 6 ,⃗ et 7⃗ non colinéaires sont appelés des vecteurs ………………………………………………………………. ,,,,,,⃗ .

8 6 ,,,,,,⃗ peut s’exprimer comme combinaison linéaire des vecteurs ,;⃗ et < ,⃗ .  Lorsque 1+ ,⃗ 9 :7⃗, on dit que 1+ 1 Term EDS Maths Espace Définition : Points coplanaires Des points de l’espace sont coplanaires s’il existe un plan qui contient tous ces points. Remarques : ..................

points de l’espace sont toujours coplanaires. S’il n’existe aucun plan contenant 4 points donnés (ou plus), on dit que ces points ne sont pas coplanaires. Définition : Vecteurs coplanaires Dire que trois vecteurs sont coplanaires signifie que, lorsqu’on choisit un point O quelconque de l’espace, ........................... .............................................................................................................................................................................................. ,⃗, < ,⃗ et ,> ,,⃗ sont coplanaires équivaut à dire que les quatre points O, A, B et C sont Traduction mathématique :.... »