Sujet Bac Blanc mathématiques

« ; CORRECTION Bac Blanc du 15 novembre 2022 < SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES E XERCICE 1 • • • • (4 points) QUESTION 1 : Réponse D QUESTION 2 : Réponse A QUESTION 3 : Réponse C QUESTION 4 : Réponse B. E XERCICE 2 (5 points) On considère la suite (Tn ) définie par : T0 = 180 et ∀n ∈ N, Tn+1 = 0, 955Tn + 0, 9 1. a.

On considère ∀n ∈ N, la propriété P (n) : Tn > 20 . Initialisation :D’une part T0 = 180.

D’autre part 180 > 20.

L’initialisation est vérifiée : P (0) est vraie. Hérédité : Soit un entier naturel k > 0 , et supposons que P( k) est vraie c’est à dire Tk > 20.

Montrons qu’alors P ( k+1) est vraie c’est à dire Tk+1 > 20. Tk > 20 ⇐⇒ 0, 955 × Tk > 0, 955 × 20 ⇐⇒ 0, 955Tk > 19, 1 ⇐⇒ 0, 955Tk +0, 9 > 19, 1+0, 9 ⇐⇒ 0, 955Tk +0, 9 > 20.

Donc Tk+1 > 20. L’hérédité est démontrée. Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et si elle est vraie au rang k, elle l’est aussi au rang k + 1. Donc on a démontré par récurrence, ∀n ∈ N, Tn > 20. ¶ µ 0, 9 b.

∀n ∈ N, Tn+1 −Tn =0, 955 Tn +0, 9−Tn = −0, 045 Tn +0, 9 = −0, 045 Tn − 0, 045 =−0, 045(Tn − 20). Or d’après la question précédente, ∀n ∈ N, Tn > 20 donc Tn − 20 > 0. Donc comme −0, 045 < 0 on peut dire ∀n ∈ N,Tn+1 − Tn 6 0. La suite (Tn )n∈N est donc décroissante. 2.

On note ∀n ∈ N, un = Tn − 20. a.

∀n ∈ N,un+1 = Tn+1 − 20 = 0, 955 × Tn + 0, 9 − 20 = 0, 955 Tn − 19, 1 = 0, 955(un + 20) − 19, 1 = 0, 955 un + 19, 1 − 19, 1 =0, 955 un . Donc ∀n ∈ N, un+1 = 0, 955 un donc la suite (un ) est géométrique de raison 0,955 et de premier terme u0 = T0 − 20 = 160. b.

∀n ∈ N, un = u0 × q n = 160 × 0, 955n . De plus ∀n ∈ N, un = Tn − 20 doncTn = un + 20 =160 × 0, 955n + 20. c. lim 0, 955n = 0 car 0, 955 ∈] − 1 ; 1[.

Donc lim 0, 955n + 20 = 20 n→+∞ n→+∞ Ainsi lim Tn = 20. n→+∞ d.

La suite (Tn ) est décroissante et d’après le tableur de la calculatrice on a : T10 ≈ 120, 96 et T11 ≈ 116, 42 Donc le plus petit entier n tel que (Tn ) 6 120 est :n = 11 3. a.

Lorsque le gâteau est sorti du four, il va céder son énergie (sa chaleur) à l’extérieur (environnement ambiant).

Sa masse étant très faible par rapport à celle de l’extérieur, sa température va diminuer pour atteindre celle de l’extérieur, soit 20° C. b.

La fonction Python décrite est un algorithme de seuil def temp(x) : T = 180 n=0 while T > x : T=0.955*T+0.9 n=n+1 return n Dans cet algorithme , l’instruction n = n + 1 étant écrite après l’expression de la suite , on ne peut pas utiliser l’expression explicite de Tn c.

temp(120) fournira le premier nombre entier n tel que Tn 6 120, soit d’après la question précédente,n = 11.

Dans le contexte de l’exercice, il faudra donc 11 minutes après la sortie du four ; pour que la température du plat devienne inférieure ou égale à 120° C. Exercice 3 5 points x e . x.... »