PROGRAMME DE REVISION DE MATHEMATIQUES

« PROGRAMME DE REVISION DE MATHEMATIQUES Ce qu’il faut connaître avant l’entrée en Terminale Spécialité Maths Pour vous permettre de réviser pendant les vacances, d’aborder le programme de terminale dans de bonnes conditions, voici une liste de savoirs, de savoir-faire et d’exercices à faire.

N’hésitez pas à reprendre vos cahiers où les méthodes ont été abordées en classe cette année.

Vous pouvez bien évidemment prolonger ce travail par tout exercice de votre choix.

Vous pouvez aussi faire des fiches mémoire résumant chaque chapitre.

Voir aussi les documents divers sur Pearltrees.

Ne pas hésiter à constituer des fiches et à refaire les DS de l’année de première. ALGEBRE ➢ Résoudre une équation du second degré Résoudre dans ℝ les équations suivantes : 2 2 2 a) x − 8 x + 7 = 0 b) −5 x + 8 x − 17 = 0 c) −6 + x + 651x = 0 une équation se ramenant à une équation du second degré Résoudre dans ℝ les équations suivantes : 4 2 a) x + 8 x − 12 = 0 b) ➢ Factoriser les expressions a) ➢ x² + 1 1 1 = 2 c) − =2 x + 2 x −1 x +1 ( x ² − 3) ² − ( x² + 1)² 2 3 2 b) −2 x + 11x − 9 c) 12 x − 7 x + x Résoudre une inéquation ou déterminer le signe d’une expression algébrique (en utilisant un tableau de signes, un changement de variable, mise au même dénominateur, factorisation, …) Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes : 2 a) x − 8 x − 7  0 d) x2 + 5x − 6 2 x −9 0 2 2 b) −15 x + 2 x − 10  0 1 e) x 2 + c) x + 8 x + 16  0 1 −60 x Déterminer le signe des expressions suivantes : a) 1 − ➢ ➢ 1/8 4 x² 3 2 b) x + 3x + 2 x c) 3x² + 6 x − 9 − x² − 4 x − 4 Résoudre un système de deux équations à deux inconnues En utilisant la méthode par substitution ou la méthode par addition. 2𝑥 − 𝑦 = −3 2𝑥 − 3𝑦 + 5 = 0 { { 𝑥 + 2𝑦 = 31 −3𝑥 + 4𝑦 − 1 = 0 5𝑥 + 3𝑦 = 76 { 2𝑥 + 9𝑦 = 124 Second degré 1) On donne 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.

Déterminer les réels a, b, c sachant que 𝑓(0) = 5 ; 𝑓(1) = 2 𝑒𝑡 𝑓(3) = 4. 2) On donne 𝑔(𝑥) = 4𝑥 2 − 16𝑥 + 1.

Calculer 𝛼, 𝛽 puis en déduire la forme canonique de 𝑔. 3) Déterminer la forme canonique puis la forme développée du trinôme ℎ de degré 2 dont la parabole passe par le point 𝐴(6; 0) et a pour sommet 𝑆(3; 4). 4) Déterminer la forme factorisée du trinôme 𝑓 ayant pour racines 3 et 7 et tel que 𝑓(−1) = −128. 5) Déterminer en justifiant votre réponse les variations de 𝑔(𝑥) = 2𝑥 2 − 14𝑥 − 3. 6) Dresser le tableau de signes de ℎ(𝑥) = −2(𝑥 − 5)(𝑥 + 1). 7) Déterminer une expression du trinôme 𝑘 de degré 2 dont une racine est −1 et dont la parabole a un sommet d’abscisse 2 et passe par 𝐴(0; −2). ➢ Degré 3 On donne la fonction 𝑔 définie sur ℝ par 𝑔(𝑥) = 3𝑥 3 + 𝑥 2 − 20𝑥 + 12. 1) Calculer 𝑔(2). 2) Déterminer les réels 𝑎, 𝑏, 𝑐 tels que, pour tout réel 𝑥, 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐). 3) Résoudre l’équation 𝑔(𝑥) = 0. 4) Dresser le tableau de signes de 𝑔(𝑥) et en déduire les solutions de 𝑔(𝑥) < 0. ANALYSE DERIVATION ➢ ➢ Connaître la définition du nombre dérivé d’une fonction f est une fonction dérivable en -2. a) Rappeler la définition du nombre dérivé en -2. b) Comment ce nombre s’interprète-t-il géométriquement ? Déterminer une équation de la tangente à une courbe f est la fonction définie pour tout réel x par f ( x) = −3x2 + 2 x − 1 .

𝐶𝑓 est la courbe représentative de f dans un repère. a) Déterminer une équation de la tangente à C au point d’abscisse -1. b) Montrer que C admet en l’un de ses points une tangente parallèle à la droite d’équation y = −4 x + 3 .

Ecrire son ➢ équation. Calculer une dérivée a) Connaître les dérivées des fonctions usuelles et les formules de dérivées associées et leur ensemble dérivabilité. b) Calculer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes et préciser l’ensemble de dérivabilité. f ( x) = x² + 2x − 1 ; g ( x) = (3x − 5)( x² + 1) ; h( x) = m( x ) = ➢ 1 2 −x + 2 ; j ( x) = ; k ( x) = x x ; l ( x) = ; 3 −2 x + 1 x +1 x2 + 1 3x 2x −1 Déterminer les variations d’une fonction Etudier les variations des fonctions suivantes : a) f ( x) = x3 − 2 x 2 − 4 , D f = R b) g ( x ) = ➢ − x² + 2 x x −1 , Dg = Rg− 1 Déterminer un encadrement On considère la fonction f définie sur I =  0; + par f ( x) = (7 x² + 2 x − 9) x 1) Etudier les variations de 𝑓. 2) En déduire un encadrement de 𝑓(𝑥) pour 𝑥 appartenant à [0 ;1]. ➢ Rechercher un extremum Déterminer les extrema de la fonction suivante : g ( x) = − x3 + 3x − 4 , ➢ I = 0, 2 Utiliser les variations d’une fonction pour déterminer son signe Soit f ( x) = − x3 − x 2 + 2 Etudier le sens de variation de f.

Calculer f(1).

En déduire le signe de f. ➢ Etudier la position relative de deux courbes Soit la fonction f définie sur R par f ( x) = ( x + 1)3 et C sa courbe représentative. a) Déterminer une équation de la tangente T à C au point d’abscisse 0. b) On pose d ( x) = f ( x) − (3x + 1) .

Etudier le signe de d ( x) sur R . c) En déduire la position relative de C et T. 2/8 ➢ Utiliser la calculatrice pour obtenir un tableau de valeurs et la représentation graphique d’une fonction. ➢ Problème Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante Partie A Lectures graphiques On considère la représentation graphique d'une fonction 𝑓 donnée ci-dessous.

On a construit les tangentes (𝑇1 ), (𝑇2 ) 𝑒𝑡 (𝑇3 ) à la courbe représentative de 𝑓 respectivement aux points A, B et C. 1) Donner le tableau de variation de la fonction 𝑓 sur l'intervalle [−4; 6] .

En déduire le signe de 𝑓 ′ (𝑥) sur cet intervalle. 2)a) Déterminer graphiquement 𝑓 ′ (0), 𝑓′(1) et 𝑓′(2) en justifiant. b) Déterminer graphiquement une équation des tangentes (𝑇1 ), (𝑇2 ) 𝑒𝑡 (𝑇3 ) Partie B .

Etude d'une fonction Soit 𝑓 la fonction définie par 𝑓(𝑥) = et Cf sa courbe représentative dans un repère. 𝑥 2 + 4𝑥 − 4 𝑥 2 − 2𝑥 + 2 1) Etude des variations de la fonction f. a) Justifier que la fonction 𝑓 est définie et dérivable sur ℝ. b) Calculer la dérivée de la fonction 𝑓. Dans la suite de l’exercice, on admettra que, pour tout réel 𝑥, −6𝑥 2 + 12𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = 2 (𝑥 − 2𝑥 + 2)² c) Etudier les variations de la fonction 𝑓 sur ℝ. 2) Des tangentes. 1.

Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 1. 2.

𝐶𝑓 admet-elle une ou des tangente(s) parallèle(s) à l'axe des abscisses ? Justifier et préciser combien et en quels points le cas échéant. 3) Etude de la position relative de la courbe et de l’axe des abscisses. a) Etudier le signe de 𝑓(𝑥). b) En déduire la position relative de la courbe Cf par rapport à l’axe des abscisses. SUITES NUMERIQUES ➢ 3/8 Généralités Reprendre les formules, définitions et propriétés liées aux suites. ➢ Comparer deux évolutions (utiliser un algorithme) Noémie et Alexandre comparent les étrennes qu’ils reçoivent chaque année.

En 2010, Noémie a reçu 80 euros et Alexandre 100 euros. Chaque année, les étrennes de Noémie augmentent de 6 euros et celles d’Alexandre de 3 %. Pour tout entier n, on note un et vn les étrennes reçues par Noémie et Alexandre l’année 2010+ n, en euros. Ainsi 𝑢0 = 80 et 𝑣0 = 100. 1) Préciser la nature des suites 𝑢 et 𝑣, puis donner les formules explicites de 𝑢𝑛 et.... »