PROBABILITÉS CONDITIONNELLES ET INDÉPENDANCE

« PROBABILITÉS CONDITIONNELLES ET INDÉPENDANCE Youtube : le cours : Yvan Monka Probabilités conditionnelles et indépendance - 1ère DM probabilité conditionnelle 1spé Labomep : https://labomep.sesamath.net/ MÉTHODES Pour comprendre EXERCICES CORRIGÉS Pour s'entraîner Calculer une probabilité conditionnelle (1) Calculer une probabilité conditionnelle (2) Calculer une probabilité à deux épreuves à l'aide d'un arbre Construire un arbre de probabilité (conditionnelle) Exercice Bac (Proba.

conditionnelles) 1 Appliquer la formule des probabilités totales Exercice Bac (Proba.

conditionnelles) 2 Démontrer l'indépendance entre deux événements Exercice Bac (Proba.

conditionnelles) 3 ACTIVITÉS, PROBLÈMES Utiliser l'indépendance entre deux événements (1) Utiliser l'indépendance entre deux événements (2) Calculer une probabilité à l'aide d'un arbre (répétition d’expériences) On inverse les rôles ? Calculer une probabilité sur une répétition d'expériences Covid-19 et test PCR NOUVEAU Ex 1,2p269 ( Rappel seconde : formule : P ( A∩ B )= P ( A ) + P ( B )− P( A ∪ B) ) https://manuel.sesamath.net/numerique/diapo.php?atome=86548&ordre=1 https://manuel.sesamath.net/numerique/diapo.php?atome=86549&ordre=1 Act 1 p270 sésamath partie A : https://manuel.sesamath.net/numerique/diapo.php?atome=86552&ordre=1 I.

Probabilité conditionnelle Définition : Soit A et B deux événements avec P ( A ) ≠ 0 . On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A, la probabilité que l'événement B se réalise sachant que l'événement A est réalisé.

Elle est notée P A ( B ) et est définie par : P A ( B )=¿ ………… . Vidéo : Calculer une probabilité conditionnelle (1) Exemples : Dans un jeu de 32 cartes : Vidéo Calculer une probabilité conditionnelle (2) 1 2 1) On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Soit A l'événement "Le résultat est un pique". Soit B l'événement "Le résultat est un roi". Donc A∩ B est l'événement "Le résultat est le roi de pique". Alors : P ( A )=¿ … … …… … … et P ( A∩ B )=¿ … … ….

.. Donc la probabilité que le résultat soit un roi sachant qu'on a tiré un pique est : On peut retrouver intuitivement ce résultat.

En effet, sachant que le résultat est un pique, on a une chance sur 8 d'obtenir le roi. 2) Un sac contient 50 boules, dont 20 boules rouges et 30 boules noires, où il est marqué soit "Gagné" ou soit "Perdu" Sur 15 boules rouges, il est marqué Gagné. Sur 9 boules noires, il est marqué Gagné. On tire au hasard une boule dans le sac. Soit R l'événement "On tire une boule rouge". Soit G l'événement "On tire une boule marquée Gagné" Donc R ∩G est l'événement "On tire une boule rouge marquée Gagné". Alors : P ( R )=¿ … … …… .

.

et P ( R∩G )=¿ … … …… … …. Donc la probabilité qu'on tire une boule marquée Gagné sachant qu'elle est rouge est : On peut retrouver intuitivement ce résultat.

En effet, sachant que le résultat est une boule rouge, on a 15 chances sur 20 qu'il soit marqué Gagné. Remarque : La probabilité conditionnelle suit les règles et lois de probabilités vues pour les probabilités simples.

On a en particulier : Propriétés : Soit A et B deux événements avec P ( A ) ≠ 0 . - … … …… … … …… … … ….

. - … … …… … … …… … … … . - … … …… … … …… … … … . Méthode 1 p279 : https://manuel.sesamath.net/numerique/diapo.php?atome=86569&ordre=1 ex 1, 2 p279 : https://manuel.sesamath.net/numerique/diapo.php?atome=86570&ordre=1 corrigé : https://manuel.sesamath.net/numerique/diapo.php?atome=99570 https://manuel.sesamath.net/numerique/diapo.php?atome=86571&ordre=1 et ex 22 ( 23)p283 : https://manuel.sesamath.net/numerique/diapo.php?atome=86594&ordre=1 corrigé : https://manuel.sesamath.net/numerique/diapo.php?atome=99594 https://manuel.sesamath.net/numerique/diapo.php?atome=86594&ordre=1 II.

Arbre pondéré 1) Exemple Construire un arbre de probabilité (conditionnelle) On reprend le 2e exemple étudié au paragraphe I. L'expérience aléatoire peut être schématisée par un arbre pondéré (ou arbre de probabilité) : 2) Règles 3 4 Règle 1 : La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1. Exemples : - A partir du nœud "On tire une boule", on a : … … …… … … …… … … …… … … …… … … - A partir du nœud "Boule rouge", on a : … … …… … … …… … … …… … … …… … … . Ces exemples font apparaître une formule donnée au paragraphe I. Règle 2 : La probabilité d'une "feuille" (extrémité d'un chemin) est égale au produit des probabilités du chemin aboutissant à cette feuille. Exemple : On considère la feuille R ∩G . On a : … … …… … … …… … … …… … … …… … … …… … … .

. Règle 3 (Formule des probabilités totales) : La probabilité d'un événement associé à plusieurs "feuilles" est égale à la somme des probabilités de chacune de ces "feuilles". Exemple : L'événement "On tire une boule marquée Gagné" est associé aux feuilles R ∩G et R ∩G .

On a : P ( R∩G )=… … … … .

et P ( R∩ G )= … … …… … .

.

(Probabilité de tirer une boule noire marquée Gagné) Donc P (G )=… … … …… … … …… … … …… … … …… … … …… … … . Exercice méthode : Calculer la probabilité d'un événement associé à plusieurs feuilles Vidéo Appliquer la formule des probabilités totales Lors d’une épidémie chez des bovins, on s’est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle. Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d’animaux dont 2 % est porteur de la maladie.

On obtient les résultats suivants : – si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85 % des cas ; – si un animal est sain, le test est négatif dans 95 % des cas. On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour toute la population et d’utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie. On note respectivement M et T les événements « Être porteur de la maladie » et « Avoir un test positif ». 1) Un animal est choisi au hasard.

Quelle est la probabilité que son test soit positif ? 2) Si le test du bovin est positif, quelle est la probabilité qu’il soit malade ? D'après BAC S, 2010 1) 5 https://manuel.sesamath.net/numerique/diapo.php?atome=86606&ordre=1 La probabilité que le test soit positif est associée aux deux feuilles … … …… … … …… … …. … … …… … … …… … … …… … … …… … … …… … … …… (Formule des probabilités totales) La probabilité que le test soit positif est égale à 6,6%. 2) P …..

( …… ..

) =¿ P ( … … …… ) = … … …… … .

.

≈ ………..

( à 10-2 près) P ( … … ..

) La probabilité que le bovin soit malade sachant que le test est positif est d’environ 26%. Méthode 2 p280 : https://manuel.sesamath.net/numerique/diapo.php?atome=86572&ordre=1 ex 3,4 p280 :.... »