MATHEMATIQUES Les épreuves de 1998 à 2009

« MATHEMATIQUES Les épreuves de 1998 à 2009 Dakar,le 20 Février 2012 1 On trouvera dans ces annales : ― les énoncés de la plupart des sujets de mathématiques proposés au Bac S2 pour la période allant de 1998 à 2009. ― à la suite, les corrigés de tous ces sujets (vingt-et-un en tout). Nous faisons trois recommandations fondamentales à l’élève utilisant ce manuel : 1°) Il est inutile de chercher un exercice sur un thème tant qu’on n’a pas bien maîtrisé le cours portant sur ce thème ; 2°) Il est indispensable de commencer par chercher à résoudre les exercices et les problèmes par soi-même, de préférence en rédigeant soigneusement la solution comme si on devait la présenter à un professeur.

Il ne faut surtout pas consulter trop vite les corrigés. 3°) Une lecture passive des corrigés sans effort préalable de la part de l’élève ne lui serait d’aucune utilité. Lors de la rédaction de ces corrigés, nous avons essayé d’être le plus détaillé possible, de manière que même un élève peu doué puisse suivre.

Nous avons ajouté parfois des remarques sur la difficulté des sujets ou sur les écueils qu’il faut éviter. Les figures ont toutes été réalisées grâce à des logiciels informatiques et, pour des raisons techniques, il n’a pas été possible de respecter les unités imposées par les sujets. L’Auteur 2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 2009 2008 2008 2008 2007 2006 2006 2005 2005 2004 2004 2004 2003 2002 2002 2001 2001 2000 2000 1999 1999 1999 1998 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 2009 2008 2008 2008 2007 2006 2006 2005 2005 2004 2004 2004 ENONCES 1 groupe ………………………………………………..... 2e groupe ………………………………………………..... 1er groupe (2ème sujet)……………………………………… 1er groupe (1er sujet)……………………………………… 1er groupe ……………………………………………….....7 2e groupe ……………………………………………….....9 1er groupe ………………………………………………....11 2e groupe ……………………………………………….....13 1er groupe ………………………………………………....14 Remplacement ……………………………………………16 2ème groupe ………………………………………………..18 1er groupe …………………………………………………20 1er groupe …………………………………………………22 2ème groupe ……………………………………………….25 1er groupe ………………………………………………...27 2ème groupe ……………………………………………….29 1er groupe………………………………………………....30 Remplacement……………………………………………32 1er groupe………………………………………………...34 Remplacement……………………………………………37 2ème groupe……………………………………………….39 1er groupe ……………………………………………….40 Remplacement……………………………………………43 SOLUTIONS er 1 groupe ………………………………………………..... 2e groupe ………………………………………………..... 1er groupe (2ème sujet)……………………………………… 1er groupe (1er sujet)……………………………………… 1er groupe ……………………………………………….....7 2e groupe ……………………………………………….....9 1er groupe ………………………………………………....11 2e groupe ……………………………………………….....13 1er groupe ………………………………………………....14 Remplacement ……………………………………………16 2ème groupe ………………………………………………..18 1er groupe …………………………………………………20 er 3 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 BAC S2 2003 2002 2002 2001 2001 2000 2000 1999 1999 1999 1998 1er groupe …………………………………………………22 2ème groupe ……………………………………………….25 1er groupe ………………………………………………...27 2ème groupe ……………………………………………….29 1er groupe………………………………………………....30 Remplacement……………………………………………32 1er groupe………………………………………………...34 Remplacement……………………………………………37 2ème groupe……………………………………………….39 1er groupe ……………………………………………….40 Remplacement……………………………………………43 4 5 BAC S2 EXERCICE 1 2009 1er groupe (3 points) 1°) (X, Y) est une série statistique double.

Soit (D1) la droite de régression de Y en X. Soit (D2) la droite de régression de X en Y.

On suppose que : (D1) : y = ax +b et (D2) : y = a x +b . Soit le coefficient de corrélation linéaire entre X et Y. Etablir que ² = aa . 2°) Dans une entreprise, une étude simultanée portant sur deux caractères X et Y donne les résultats suivants : ― La droite de régression de Y en X a pour équation : 2,4x ― y = 0 ― La droite de régression de X en Y a pour équation : 3,5y ― 9x + 24 = 0. a) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre X et Y, sachant que leur covariance est positive. b) Calculer la moyenne de chacun des caractères X et Y. EXERCICE 2 (5 points) Une urne contient quatre jetons qui portent le nombre 1, deux qui portent le nombre e et 1 six qui portent le nombre . e On tire successivement avec remise deux jetons de l’urne et on note par x et y les nombres lus respectivement sur le premier et le deuxième jeton tirés. A cette expérience, on associe le point M d’affixe z = ln x + i ln y. → → 1°) Le plan étant muni d’un repère orthonormé (O, i , j ), déterminer la probabilité de chacun des événemnts suivants : A : « M appartient à l’axe des abscisses » ; B : « M appartient à l’axe des ordonnées » ; C : « M appartient aux deux axes » ; D : « M n’appartient aux deux axes » ; → → E : « l’angle (OM , i ) est égal à ― »; 4 F : « le point M appartient au cercle trigonométrique ». 2°) Soit X la variable aléatoire réelle qui à chaque tirage associe la distance OM. a) Déterminer la loi de probabilité de X. b) Déterminer la fonction de répartition de X. EXERCICE 3 (5 points) 1°) Résoudre l'équation différentielle (E) : y + 2 y + y = 0. 2°) Soit (E ) l'équation différentielle : y + 2 y + y = x + 3. Déterminer les réels a et b tels que la fonction h définie par: h(x) = ax + b soit solution de (E ). 3°) a)Démontrer que g est solution de (E ) si et seulement si g ― h est solution de (E). b) Résoudre alors (E ). c) Déterminer la solution f de (E) telle que : f(0) = 2 et f (0) = ― 1. 4°) Soit k la fonction définie par k(x) = (x + 2) . a)Etudier les variations de k. b) Déterminer l'équation de la tangente (T) à la courbe ( ) de k au point d’abscisse 0. c) Démontrer que le point I(0 ;2) est un point d’inflexion de la courbe ( ). → → d) Tracer ( ) et ( T) dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, i , j ). 6 EXERCICE 3 (7 points) 1°) a)Etudier les variations de la fonction f définie sur ]―1 ; [ par : f(x) = 2 ln(x+ 1) → → Tracer sa courbe représentative dans le repère orthonormal (O, i , j ), unité : 2 cm. b) Démontrer que sur [2 ; que l'équation [, la fonction définie par (x) =f(x) ― x est bijective et (x) =0 admet une solution unique . 2°) On considère la suite ( ) définie par : { ( ) a) Sans faire de calcul, représenter les quatre premiers termes de la suite sur le graphique. b) Démontrer par récurrence que pour tout n, 2. c) Montrer que, pour tout x de l’intervalle [2 ; d) En déduire que pour tout n, on a : | | [, | ( ) | | la suite ( ) converge vers . e) Déterminer le plus petit entier naturel p tel que | pour ? . |, que | | | 2( ) , et que .

Que représente 7 BAC S2 EXERCICE 1 2ème groupe 2008 (3 points) 1°) Trouver les réels a et b tels que : pour tout x appartenant à ]0;1[ ∪ ]1; +∞[, 1 a b = + x(1 ─ x) x 1─x 2°) Par intégration par parties, calculer J = EXERCICE 2  3 2 ln x dx . (1  x) (5,25 points) Soit l’équation d’inconnue z ∈ ℂ : z² + 2z + 4 = 0. 1°) Soient α et β les solutions de cette équation avec Im(α) > 0. a) Donner la forme algébrique de α et β. b) Mettre α et β sous forme trigonométrique et placer leurs images dans le plan complexe. 2°) Déterminer 3°) Mettre α3 3 2 en fonction de β.

Qu’en déduire pour α et β ? β2 β24 sous forme algébrique. EXERCICE 3 (5,75 points) 1°) Soit (E) l’équation différentielle y ' + 2y = 0 où y est une fonction numérique définie et dérivable sur ℝ. a) Résoudre l’équation (E). b) Déterminer la solution f de (E) telle que f(0) = 1. 2°) Calculer n 1 2 x n e dx . 3°) Soit (Un) la suite définie par : pour tout n entier naturel, Un = 1 ─ ─ (1 ─ e 2) e 2n. 2 a) Calculer les valeurs exactes de U0, U1 et U2. b) Démontrer que (Un) est une suite géométrique dont on précisera la raison. c) Déterminer la valeur exacte de la somme U0 + U1 + ....+ U9. EXERCICE 4 (04 points) Dans une mare vivent des grenouilles.

Les 30% sont des rainettes et le reste des grenouilles vertes.10% des rainettes et 20% des grenouilles vertes sont malades. On prélève au hasard une grenouille de la mare. On considère les événements suivants : A : « la grenouille prélevée est une rainette malade » B.... »