Loi binomiale

« cours LOI BINOMIALE Spécialité mathématiques Terminale I LOI DE BERNOULLI ET LOI BINOMIALE A) loi de Bernoulli Soit une expérience aléatoire présentant 2 issues, l’une S que l’on appelle « succès », et l’autre S appelée « échec ». On appelle p la probabilité de succès et q celle de l’échec.

On a donc q=1-p. Cette expérience aléatoire s’appelle une épreuve de Bernoulli de paramètre p. La variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec est appelée variable aléatoire de Bernoulli. La loi de probabilité de cette variable aléatoire est appelée loi de Bernoulli de paramètre p. 𝑥! 0 1 P(X=𝑥! ) 1-p p Rappels des paramètres vus en classe de Première : Soit une variable aléatoire X prenant les valeurs 𝑥! , 𝑥! , ..., 𝑥! . La loi de probabilité de X associe à toute valeur 𝑥! la probabilité pi = P(X = 𝑥! ). L'espérance mathématique de la loi de probabilité de X est : E(X) = p1 𝑥! + p2 𝑥! + … + pn 𝑥! ! = 𝑝! 𝑥! !!! La variance de la loi de probabilité de X est : V(X) = p1(𝑥! – E(X))2 + p2(𝑥! – E(X))2 + … + pn(𝑥! – E(X))2 ! = 𝑝! 𝑥! − 𝐸(𝑋) ! !!! L'écart-type de la loi de probabilité de X est : 𝜎 𝑋 = 𝑉(𝑋) Espérance : si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p, alors E(X)=p En effet, E(X) = 0×(1 − 𝑝) + 1×𝑝 = 𝑝 Variance : si X suit une loi de Bernoulli de paramètre 𝑝, alors 𝑽(𝑿) = 𝒑(𝟏 − 𝒑) En effet, comme E(X) =p, on a : 𝑉(𝑋) = (1 − 𝑝)×(0 − 𝑝)! + 𝑝×(1 − 𝑝)! = 1 − 𝑝 ×𝑝! + 𝑝(1 − 2𝑝 + 𝑝! ) = 𝑝! − 𝑝! + 𝑝 − 2𝑝! + 𝑝! = 𝑝 − 𝑝!.... »