fonction exponentielle

« La fonction exponentielle I ) définition Propriétés et définition : * Il existe une unique fonction 𝑓 dérivable sur ℝ telle que 𝑓 ! = 𝑓 et 𝑓 0 = 1. * Une telle fonction ne s’annule pas. * Cette fonction s’appelle fonction exponentielle et se note exp. Conséquences de la définition: exp 0 = 1 exp’(𝑥)=exp(𝑥) pour tout nombre 𝑥 ∈ ℝ Démonstration de l’unicité (vue en classe de Première): *On démontre tout d’abord qu’une telle fonction ne peut pas s’annuler. Soit ℎ définie par ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥)×𝑓(−𝑥) La fonction ℎ est un produit de deux fonctions, du type 𝑈×𝑉 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑈 𝑥 = 𝑓 𝑥 et 𝑉 𝑥 = 𝑓(−𝑥). On a 𝑈 ! 𝑥 = 𝑓 ! 𝑥 = 𝑓(𝑥) et 𝑉 ! 𝑥 = −1×𝑓 ! −𝑥 = −𝑓 ! 𝑥 = −𝑓(𝑥) On obtient donc ℎ! 𝑥 = 𝑓 𝑥 ×𝑓 −𝑥 + 𝑓 𝑥 −𝑓 −𝑥 C’est à dire ℎ! 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑓 −𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑓 −𝑥 = 0 Cela signifie que ℎ est une fonction constante Or ℎ 0 = 𝑓 0 ×𝑓 −0 = 𝑓 0 ×𝑓 0 = 1×1 = 1 Conclusion ℎ 𝑥 = 1 pour tout nombre 𝑥 On a prouvé que 𝑓 𝑥 ×𝑓 −𝑥 = 1 pour tout nombre 𝑥 Donc 𝑓(𝑥) ≠ 0 pour tout 𝑥 * On considère maintenant deux fonctions 𝑓 et 𝑔 telles que 𝑓 = 𝑓’ , 𝑓 0 = 1, 𝑔 = 𝑔’ et 𝑔 0 = 1. ! ! Soit la fonction 𝑘 définie pour tout 𝑥 par 𝑘 𝑥 = ! ! ce qui est possible car 𝑔(𝑥) ≠ 0. ! La fonction 𝑘 est un quotient de deux fonctions, du type ! 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑈 𝑥 = 𝑓 𝑥 et 𝑉 𝑥 = 𝑔(𝑥). On a donc : 𝑘 ! 𝑥 = ! ! ! ×! ! !! ! ×! ! ! (!(!))! = ! ! ×! ! !!(!)×!(!) (!(!))! On en déduit que 𝑘 est une fonction constante. !(!) ! Or 𝑘 0 = !(!) = ! = 1 Donc 𝑘 𝑥 = 1 pour tout nombre 𝑥 ! ! On a prouvé que !(!) = 1 pour tout nombre 𝑥 Donc 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥) pour tout 𝑥. II) Propriétés de l’exponentielle et nouvelle notation 1) Propriétés : ! Pour tout réel 𝑥, on a exp −𝑥 = !"#(!) Pour.... »