équation de droite

« EQUATIONS DE DROITES I-COLINEARITE DE DEUX VECTEURS Définition :   Deux vecteurs non nuls u et v sont dit colinéaires s’ils ont la même direction,   c’est-à-dire s’il existe un réel k non nul tel que u  k v . Le réel k est appelé coefficient de colinéarité. Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs. Exemples :    On considère un repère  O; i ; j  du plan.    6    2   et v   . a) On donne u   5    15  On remarque  2   3  6 et 5   3  15 , donc u  3 v , donc u et v sont colinéaires.    2   3  b) On donne u   et v   .  5   8  2 2    . S’il existe un réel k non nul tel que u  k v , alors  3k  2 , donc k  3 3  2 16 2    5 , donc u  v , donc il n’existe pas de réel k tel que u  k v et donc Or  8  3 3 3   u et v ne sont pas colinéaires.     Propriété :  x  x '     Soit  O; i ; j  un repère du plan, dans lequel on a les vecteurs u   et v   .    y  y'   Alors u et v sont colinéaires si et seulement si xy' yx'  0 . Preuve :   Démontrons d’abord que si u et v sont colinéaires, alors xy' yx'  0 .  - si l’un des deux est nul, par exemple u , alors x  0 et y  0 et donc xy' yx'  0 x'0 y '  0 .   - si aucun des deux n’est nul, alors il existe un réel k non nul tel que u  k v et donc x  kx' et y  ky ' .

Donc xy' yx'  kx' y 'ky 'x'  kx' y 'kx' y '  0 .  Démontrons maintenant que si xy' yx'  0 , alors et v sont colinéaires.   - si x  y  x'  y '  0 , alors u et v sont nuls et ils sont colinéaires.  - sinon, l’un au moins des deux vecteurs est non nul, par exemple u .  Dès lors, l’une au moins des deux coordonnées de u est non nulle, par exemple x. x' On pose alors k  .

On obtient x xy' yx' x' xy' yx'  0   0  y ' y  0  y 'ky  0  y '  ky . x x x'     Comme k   x'  kx , on en déduit que v  k u et donc que u et v sont colinéaires. x Application :    On considère un repère  O; i ; j  du plan.    6    2   et v   . a) On donne u   5    15  6  5   15   2   30  30  0 donc u et v sont colinéaires.    2   3  b) On donne u   et v   .  5   8     2  8  5   3  16  15  1  0 donc u et v ne sont pas colinéaires.   II-CARACTERISATION ANALYTIQUE D’UNE DROITE Définition :   On dit qu’un vecteur non nul u est un vecteur directeur d’une droite d, si u possède la même direction que la droite d.  u est un vecteur directeur de la droite d .   Le vecteur v est colinéaire au vecteur u , donc il est aussi un vecteur directeur de d. Pour obtenir un vecteur directeur d’une droite, on peut utiliser deux points quelconques de  cette droite : le vecteur AB est un vecteur directeur de d. Remarque : deux droites sont parallèles si et seulement si il existe un vecteur directeur de l’une qui est aussi un vecteur directeur de l’autre. Propriété :  Soit d une droite passant par un point A.... »