dst corrigé

« DST 3 – Corrigé Exercice 1 (4 points) Avant le début des travaux de construction d’une autoroute, une équipe d’archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain. Lorsque le -ième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif. L’évènement : « le -ième sondage est positif » est noté , on note la probabilité de l’évènement . L’expérience acquise au cours de ce type d’investigation permet de prévoir que : • si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à 0,6 d’être aussi positif ; • si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à 0,9 d’être aussi négatif. On suppose que le premier sondage est positif, c’est-à-dire : . 1) Calculer les probabilités des évènements suivants : a) A : « les 2e et 3e sondages sont positifs » ; Comme on suppose le premier sondage positif ( on a et d’après l’énoncé D’où : b) B : « les 2e et 3e sondages sont négatifs ». et d’après l’énoncé 2) Calculer la probabilité 3) ; D’où : pour que le 3e sondage soit positif. désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. Recopier et compléter l’arbre ci-dessous en fonction des données de l’énoncé : . 4) Pour tout entier naturel non nul, établir que : . D’après la formule des probabilités totales, on a pour tout entier naturel non nul : D’où 5) On note la suite définie, pour tout entier naturel a) Démontrer que Donc . est une suite géométrique, en préciser le premier terme et la raison. est la suite géométrique de raison b) Exprimer non nul par : et de premier terme en fonction de . De la question précédente on déduit que . Donc c) Calculer la limite, quand tend vers , de la probabilité est la suite géométrique de raison . de premier terme donc Exercice 2 – QCM (5 points) Pour chacune des affirmations (entre guillemets) ci-dessous, préciser si elle est vraie ou fausse. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la mention « vrai » ou « faux ».

Il justifiera sa réponse (un contre exemple pourra être donné lorsque l’affirmation est fausse). Une réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte enlève 0,5 point, l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de points.

Un éventuel total négatif sera ramené à zéro. 1) est une fonction définie sur l’intervalle . « FAUX – Contre-exemple : 2) « Si est définie sur est un nombre réel quelconque et FAUX – Contre-exemple : Sur l’intervalle 3) « e par . une fonction définie et strictement décroissante sur , la fonction définie par , alors est strictement décroissante VRAI - 4) « e e admet une limite finie quand nombre dérivé 5) Si .

Donc tend vers 0.

Cette limite est égale au est dérivable en 0 et donc aussi continue en 0. est définie sur l’intervalle une solution dans avec et alors l’équation admet au moins . FAUX - Si la fonction n’est pas continue entre Contre –exemple : est définie sur et , l’équation par peut ne pas avoir de solution..... »