Dérivées des fonctions élémentaires

« Dérivées des fonctions élémentaires Nombre dérivée Soit une fonction f définie sur un intervalle ouvert I. Soit a ∈ I. La fonction f admet un nombre dérivé en a, noté f ′ ( a), si la limite du taux d’accroissement existe et est finie : f ( a + h)− f ( a) f ′ ( a) = lim h h →0 f ( x )− f ( a) f ′ ( a) = lim x→a x−a ou B On retiendra plutôt la première formulation. df Les physiciens utilisent la notation différentielle ( a) dx Variation d’une fonction dérivable Soit une fonction dérivable sur un intervalle I. Soit n un entier naturel non nul. Fonction Dérivée Condition xn nx n−1 x∈R • Si f ′ = 0 sur I, alors f est constante. 1 xn √ x • Si f ′ > 0 sur I, alors f est croissante. • Si f ′ < 0 sur I, alors f est décroissante. − n x n +1 1 √ 2 x x ∈ R∗ x ∈]0 ; +∞[ Règles de dérivation Fonction dérivée Somme Soit une fonction f définie sur un intervalle I. : (u + v)′ = u′ + v′ Prd par un scalaire : (λu)′ = λu Si la fonction f admet un nombre dérivé en chacun des points de I, on dit que la fonction f est dérivable sur I. La fonction dérivée Produit On définit alors sur I, la fonction dérivée, notée f ′ , la fonction qui à x associe son nombre dérivé. La fonction dérivée est intimement liée à la notion de limite et de tangente. Inverse B La plupart des fonctions élémentaires sont dérivable Quotient Puissance sur leur ensemble de définition à part la fonction racine qui est uniquement dérivable sur ]0 ; +∞[ Racine : (uv)′ = u′ v + uv′  ′ 1 u′ : =− 2 u u  u ′ u′ v − uv′ : = v v2 n ′ ′ : (u ) = nu un−1 √ u′ : ( u)′ = √ 2 u Interprétations géométrique et numérique Équation de la tangente Ta en a à la courbe C f d’une fonction f dérivable en a : y= f ′ ( a)( x − a) + f ( a) Lorsque x est proche de a, le point M’ de C f est proche du point M de Ta . Extremum d’une fonction dérivable Cf M’ y f ( a) O Ta Soit une fonction f sur un intervalle ouvert I contenant c. y − f ( a) • Si c est un extremum de f sur I alors f ′ (c) = 0 b M b A b x−a a • Si f ′ s’annule en c en changeant de signe alors c est un extremum de f sur I. x On peut alors faire l’approximation affine suivante : f ( x ) ≈ f ( a) + ( x − a) f ′ ( a) PAUL MILAN B.... »