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« Ch1 : Limites et continuité (TS) LIMITES et CONTINUITE I.

LIMITES EN L’INFINI a) Limite infinie Par exemple, considérons la fonction f dont la courbe représentative est : Lorsque x s'en va vers +∞ ∞, f(x) devient de plus en plus grand.

il n'a aucun maximum. On dit alors que f(x) tend vers +∞ ∞. Ou que la limite de la fonction f lorsque x tend vers +∞ ∞ est égale à +∞ ∞. Ce que l'on résume par : Définition : Dire que la limite de f en +  est +  signifie que f(x) devient de plus en plus grand dès que x est suffisamment grand. b) Limite finie Considérons maintenant la fonction f dont la courbe représentative est : Lorsque x s'en va vers +∞ ∞, f(x) se rapproche de plus en plus de 2. On dit alors que f(x) tend vers 2. Ou que la limite de la fonction f lorsque x tend vers +∞ ∞ est égale à 2. Ce que l'on résume par : Définition : Dire que la limite de f en +  est l signifie que f(x) reste dans un intervalle ] l − r ; l + r [ , où r est un réel positif, dès que x est suffisamment grand Note : Lorsque x tend vers +∞ ∞, la courbe de la fonction f se rapproche de plus en plus de la droite D d'équation y = 2. ∞. On dit alors que D est une asymptote horizontale à la courbe de f au voisinage de +∞ - 1/8 - Ch1 : Limites et continuité (TS) c) Sans limite ! Toutes les fonctions n'admettent pas nécessairement une limite lorsque x tend vers +∞ ∞.

C'est par exemple le cas avec les fonctions sinus et cosinus : Lorsque x s'en va vers +∞ ∞, sinus et cosinus hésitent quant à l'attitude à adopter.

Oscillant à jamais, ils n'ont aucune limite finie ou infinie... II.

LIMITES EN UN POINT Par exemple, considérons la fonction f définie sur l'intervalle ] 3 ; +∞ [ dont la courbe représentative est : Lorsque x se rapproche de 3, f(x) devient de plus en plus grand sans qu'aucun plafond ne l'arrête. On dit alors que f(x) tend vers +∞ ∞. Ou que la limite de la fonction f lorsque x tend vers 3 est égale à +∞ ∞. Ce que l'on résume par : Définition : Dire que la limite de f en α est +  signifie que f(x) devient de plus en plus grand dès que x est suffisamment proche de a Note : Lorsque x tend 3, la courbe de la fonction f se rapproche de plus en plus de la droite D d'équation x = 3. On dit alors que D est une asymptote horizontale à la courbe de f au voisinage de 3. Nous avons exclusivement évoqué des fonctions qui tendent vers +∞ à l'approche d'un point.

Mais il existe aussi des fonctions qui ont pour limite -∞. C'est à peu près pareil, sauf qu'au lieu de s'envoler vers le ciel elles s'enfoncent dans les abysses... Limite à gauche et limite à droite. Dans ce qui suit, f désignera la fonction inverse.

Ainsi pour tout x : f(x) = La fonction inverse f est définie sur l'intervalle ] -∞ ; 0 [ ∪ ] 0 ; +∞ [. Autrement écrit, lorsqu'elle tend vers 0, elle peut le faire : - 2/8 - 1 x Ch1 : Limites et continuité (TS) Par la droite lorsque x se rapproche de 0 par la gauche ou par valeurs inférieures, f(x) tend vers -∞ ∞. ∞. On dit alors que la limite à gauche de f(x) en 0 est égale à -∞ Ce que l'on résume par : ∞. lorsque x se rapproche de 0 par la droite ou par valeurs supérieures, f(x) tend vers +∞ On dit alors que la limite à droite de f(x) en 0 est égale à +∞ ∞. Ce que l'on résume par : La fonction inverse n'admet pas de limite en 0 car elle a : une limite à gauche de 0 qui vaut -∞ ∞ et une limite à droite de 0 qui vaut +∞ ∞. III.

LIMITES DES FONCTIONS DE REFERENCE Fonction Ensemble de définition Limite en -∞ Limite en 0 Limite en +∞ x ] –∞ ; +∞ [ –∞ 0 +∞ 2 ] –∞ ; +∞ [ +∞ 0 +∞ x3 ] –∞ ; +∞ [ –∞ 0 +∞ 1 x ] –∞ ; 0 [ ∪ ] 0 ; +∞ [ 0 x x sin(x) cos(x) [ 0 ; +∞ [ ] –∞ ; +∞ [ N'existe pas 0 0 +∞ 0 1 N'existe pas IV.

OPERATIONS SUR LES LIMITES a) Limite d’une somme De manière générale, la limite de la somme de deux fonctions est égale à la somme des limites de celles-ci.

Sauf cas particuliers ! - 3/8 - Ch1 : Limites et continuité (TS) Limite de f Limite de g Limite de f + g l l' l + l' Exemples : l +∞ +∞ • l –∞ –∞ +∞ +∞ +∞ –∞ –∞ –∞ +∞ –∞ Indéterminé • •  2  lim x + 3x − 1 = +  x→+ 2 1  3 lim x − 4x +.... »