COURS DE MATHEMATIQUES FINANCIERES ET RECHERCHE OPERATIONNELLE BTS FCGE 2

« COURS DE MATHEMATIQUES FINANCIERES ET RECHERCHE OPERATIONNELLE BTS FCGE 2 MODULE DE MATHEMATIQUES FINANCIERES OPERATIONS FINANCIERES A COURT TERME Ce module introduit les notions de calculs indispensables dans les services financiers et dans les secteurs d’activités économiques et financières.

Il permet de comprendre et de maîtriser les opérations relatives aux transactions financières réalisables dans un délai généralement inférieur à un an.

La connaissance de la notation somme (∑ ❑) ainsi que ses propriétés sont indispensables à la bonne compréhension des formules à établir dans ce module.

Au terme de ce module, vous serez capable de : -définir et utiliser correctement les termes financiers élémentaires -réaliser les calculs commerciaux à intérêts simples CHAPITRE 1 : LES INTERETS SIMPLES I-Notion d’intérêt Lorsqu’une personne physique ou morale met à la disposition d’une autre personne une certaine somme d’argent pendant un certain temps, il est convenu que cette somme lui soit remboursée majorée d’un montant appelé intérêt. L’intérêt est la rémunération d’un prêt ou d’un placement d’argent appelé le capital. ATTENTION : Evitons de confondre Intérêt et bénéfice (même si les deux notions font penser à un gain) le bénéfice étant la différence positive entre produits et charges. REMARQUE : il existe trois grands modes de paiement des intérêts à savoir : -les intérêts précomptés : intérêts versés dès la remise du capital -les intérêts post comptés : intérêts versés à la fin du prêt -les intérêts périodiques : intérêts versés à intervalles de temps réguliers II-FORMULE DE L’INTERET SIMPLE 1- PRINCIPE Une durée de placement peut –être décomposée en plusieurs périodes.

Quelque soit la période, le calcul de l’intérêt simple repose sur le capital initial (que les intérêts périodiques soient payés ou non). 2) NOTATION : Désignons par : C : le capital prêté ou placé ; T : intérêt annuel pour 100F de prêt ; n : la durée de placement ; I : l’intérêt produit 3) FORMULE -si la durée est exprimée en années alors on a : I¿ c × t c×t ×n × n= 100 100 -si la durée est exprimée en mois alors on a : I=c × t n c×t ×n × = 100 12 1200 -si la durée est exprimée en jours alors on a : I=c × t n c × tn × = 100 360 36000 En considérant une année commerciale de 360 jours REMARQUES -Dans le cas d’une année civile de 365 jours la dernière formule devient I¿ c × t n c×t ×n × = 100 365 36500 -En l’absence de toute précision ,on se réfère pour les calculs de l’intérêt à l’année commerciale de 360 jours. D’une manière générale si la durée est exprimée à la fois en années, en mois, en jours (par exemple 1 an 3 mois 25 jours) alors l’intérêt I pourrait être calculé à partir de la formule suivante : I= nm n j c×t ( na + + ) 100 12 360 Avec n a : la durée exprimée en années n m : la durée exprimée en mois n j : la durée exprimée en jours. -Si la période entre deux dates et que la durée doit être exprimée en jours, il faut compter le nombre de jours compris entre les deux dates en prenant en compte l’une des deux dans le décompte(en général on prend en compte la dernière date) ; par exemple du 15 Mars au 10 Juillet, on décompte : Mars :31-15= 16 jours ; Avril = 30 jours Mai = 31 jours Juin = 30 jours Juillet = 10 jours Soit un total de 117jours ILLUSTRATION 1 : En vue de faire face aux besoins financiers liés à la scolarisation de ses enfants ,un parent emprunte à sa banque une somme de 900 000F.Le remboursement aura lieu dans 6 mois et il sera majoré des intérêts calculés au taux annuels de 6%. Déterminons à échéance le montant des intérêts dus puis la somme totale à verser. Résolution : Commençons par reconnaître les éléments de l’énoncé : -la somme prêtée par la banque d’une valeur de 900000F représente le capital -la durée du prêt est de 6 mois ; -le taux annuel d’intérêt est de 6 % soit 6 F d’intérêt pour 100F prêté Selon la formule observée plus haut on a : I=900000 × 6 6 900000 ×6 ×6 × = =27000 F 100 12 1200 Le parent doit payer 27000 F d’intérêt à sa banque.

Il devra donc décaisser une somme totale de 927000 correspondant à : capital+intérêt. Illustration 2 : Reprenons l’illustration 1 et considérons que le remboursement du prêt soit fixé à un délai de 6 mois et 25 jours. Résolutions Exprimons la durée dans une seule unité :choisissons de l’ exprimer en jours : On aura :n=6×30+25 soit n=205 jours Le montant des intérêts dus à échéance est donc : I=900000× 6 205 900000 × 6× 205 × = =30750 F 100 360 36000 A échéance ce parent devra décaisser la somme totale de 930750 F. REMARQUE : La durée étant exprimée à la fois en mois et en jours, on pourrait également utiliser la c × t nm n j formule : I= ( + ) et obtenir le même résultat. 100 12 360 III-VALEUR ACQUISE D’UN CAPITAL Dans le domaine des finances, tout prêt d’argent génère des intérêts.

On dit que l’argent prêté se bonifie ou qu’il acquiert de la valeur.

La valeur acquise d’un capital est par conséquent ce capital majoré de ses propres intérêts.

Désignons par V la valeur acquise par un capital prêté pendant une durée n : V=C+I Pour une durée n exprimée en jours, on a : V ¿ c + c ×tn 36000 On peut facilement établir les autres expressions de V correspondant à des durées exprimées en mois ou en années. REMARQUE Dans les illustrations1 et 2 traitées précédemment la somme totale décaissée à l’ échéance n’ est rien d’autre que la valeur acquise par les 900 000 F prêtés IV-TAUX MOYEN DE PLACEMENT Considérons trois capitaux C 1 , C 2 ,C 3 placés à des taux d’intérêtt 1 , t 2 , t 3pendant des durées respectives n 1 , n 2 , n3 durées exprimé en jours ;l’intérêt global produit par ses trois capitaux est I tel que I= c 1 ×t 1 × n1 c 2 × t 2 × n2 c3 ×t 3 × n3 + + 36000 36000 36000 (1) On désire trouver le taux unique de placement qui conduirait au même montant d’ intérêt ; soit t m ce taux ,on a : I= c 1 ×t m × n1 c 2 ×t m ×n 2 c 3 × t m × n3 (2) + + 36000 36000 36000 Puisque l’intérêt global est le même, on peut déduire des égalités 1 et 2 une nouvelle égalité : c 1 ×t 1 × n1 c 2 × t 2 × n2 c3 ×t 3 × n3 c 1 × t m × n1 c 2 ×t m × n2 c3 ×t m ×n 3 + + = + + 36000 36000 36000 36000 36000 36000 Remarquons que le résultat de t m resterait le même si les durées étaient exprimées en mois ou en années Définition et formule On appelle taux moyen de placement de plusieurs capitaux C k (K=1,2,3,…….n) placés respectivement aux taux t k pendant des durées n k ,le taux unique t mqu’on pourrait appliquer à chaque capital pour obtenir le même intérêt global. Formule du taux moyen n ∑ c k ×t k × nk k =1 Il ressort de ce qui précède que t m= n ∑ ck × nk k=1 Illustration 3 : Déterminons le taux moyen de placement des capitaux ci- après C1 = 300 000 F ; t1=4,5 ; n1= 9 mois C2= 550 000F ; t2=5,5 ; n2= 9mois ; C3=1 250 000 F ; t3=7 ; n3=7 mois ; C4=800 000 F ;t4 =6 ; n4=4 mois Compte tenu de la formule qui précède ,le taux moyen de placement de ces capitaux vaut : Tm= 300000× 4,5 ×9+ 550000× 5,5× 9+1250000 ×7 ×7+800000 × 6× 4 =6,11352 300000 ×9+ 550000× 9+1250000 ×7+800000 × 4 V- TAUX EFFECTIF DE PLACEMENT La notion de taux effectif de placement ressort à chaque fois que le montant total des rémunérations perçues est différent de celui correspondant aux intérêts des capitaux. 1-Définition C’est le taux T qu’il faut appliquer aux capitaux placés, compte tenu des durées effectives de placement, pour avoir le montant de la rémunération. Cette notion de taux effectif s’observe aussi lorsque l’intérêt est précompté .En effet , selon cette hypothèse l’intérêt que doit verser l’emprunteur est perçu non pas au moment du remboursement, c’est-à-dire à échéance ,mais plutôt dès la remise du prêt.

Puisque l’intérêt est perçu par avance, on considère que le montant effectivement prêté est le montant initial C diminué de la valeur de l’intérêt I ; soit (C-I ).

A l’échéance l’emprunteur aura à débourser le montant C..... »