Chapitre 1 : Suites

« Chapitre 1 : Suites I. Le raisonnement par récurrence. Problématique : Le raisonnement par récurrence peut être utilisé pour démontrer qu’une propriété qui dépend d’un entier 𝑛, notée alors 𝑃(𝑛) est vraie pour tout entier 𝑛. Méthode : Le raisonnement par récurrence se traite en 4 étapes Définition de la propriété à démontrer Initialisation On démontre qu’il existe un entier 𝑛0 tel que 𝑃(𝑛0 ) est vraie Hérédité On suppose qu’il existe un entier 𝑛 supérieur à 𝑛0 pour lequel 𝑃(𝑛) est vraie (hypothèse de récurrence) On démontre alors que si 𝑃(𝑛) est vraie, alors 𝑃(𝑛 + 1)est vraie Conclusion 𝑃𝑛 est vraie pour tout entier 𝑛 supérieur à 𝑛0 . Exercices : vrai faux 1 à 4 p 21 II. 1 ; 2 p 26 et 6 à 21 p 26/27 Etude de suites. Définitions : Une suite (𝑢𝑛 ) est strictement croissante quand pour tout entier 𝑛, 𝑢𝑛 < 𝑢𝑛+1 . Une suite (𝑢𝑛 ) est strictement décroissante quand pour tout entier 𝑛, 𝑢𝑛 > 𝑢𝑛+1 . Une suite (𝑢𝑛 ) est majorée quand il existe un réel 𝑀 tel que pour tout entier 𝑛, 𝑢𝑛 < 𝑀 Une suite (𝑢𝑛 ) est minorée quand il existe un réel 𝑚 tel que pour tout entier 𝑛, 𝑢𝑛 < 𝑚 Une suite (𝑢𝑛 ) est bornée quand elle est minorée et majorée. Méthode : Pour étudier les variation d’une suite (𝑢𝑛 ), on peut : étudier le signe de 𝑢𝑛 − 𝑢𝑛+1 𝑢 déterminer si 𝑢 𝑛 est supérieur ou inférieur à 1 𝑛+1 Propriétés : Toute suite croissante est minorée. Toute suite.... »