CCP 2018 - MP2

« CCP 2018 - MP2 Exercice I Q.1 L’intégrale d’une fonction continue existe sur un segment et (.|.) est bien définie. - La symétrie provient de la commutativité de la multiplication dans R. - La linéarité par rapport à la première variable découle essentiellement de la linéarité du passage à la limite (et de la distributivité de la multiplication sur l’addition). - Si f ∈ E alors f 2 ≥ 0 et donc (f |f ) ≥ 0.

Si cette quantité est nulle, f 2 est une fonction continue positive d’intégrale nulle et est donc nulle.

f l’est donc aussi.

Ceci nous donne le caractère défini positif. (.|.) est un produit scalaire sur E Q.2 On pourrait utiliser les formules de Schmidt.

Cepedant, il est immédiuat que (u|v) et il nous suffit de normer les vecteurs pour obtenir une base orthonormée. r ! 1 3 √ u, v est une b.o.n.

de F 2 2 Q.3 D’après les règles de calcul en base orthogonale (et en notant p la projection orthogonale sur F ) (w|v) (w|u) u+ v kuk2 kvk2 R1 Une intégration par partie donne, en posant In = −1 tn et dt, p(w) = In = e − (−1)n − nIn−1 e On en déduit que 2 5 1 I0 = e − , I1 = , I2 = e − e e e et ainsi p(w) = e + e−1 3 u+ w 2 e On remarque que Z 1 inf (a,b)∈R2
2 et − (a + bt) dt = inf kw − f k2 = d(w, F )2 f ∈F −1 D’après le cours, cette distance est atteinte pour f = p(w) et vaut donc kw − p(w)k2 .

En écrivant que w = (w − p(w)) + p(w) et en remarquant que w − p(w) et p(w) sont orthogonaux, on a alors aussi (par Pythagore) Z 1
2 e2 − e−2 (w|u)2 (w|v)2 inf et − (a + bt) dt = kwk2 − kp(w)k2 = − − 2 kuk2 kvk2 (a,b)∈R2 −1 Un calcul au brouillon permet de simplifier cette expression et d’ontenir Z 1 inf (a,b)∈R2 −1
2 7 et − (a + bt) dt = 1 − 2 e 1 Exercice II Q.4 Dans le produit proposé il y a k termes, ce qui est un nombre indépendant de n.

Chacun des termes est de limite 1 quand n → +∞.

Par théorème d’opération,  lim n→+∞ nn−1 n−k+1 ... n n n  =1 Par définition de la loi binomiale, et en posant pn = nλ ,   n k P(Xn = k) = p (1 − pn )n−k k n 1 = n(n − 1) .

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(n − k + 1)pkn (1 − pn )n−k k!   n−k+1 1 nn−1 ... (npn )k (1 − pn )n−k = k! n n n (npn )k est égal à λk .

(1 − pn )n−k = (1 − pn )−k en ln(1−pn ) tend vers 1 × e−λ (en écrivant que ln(1 − pn ) ∼ − nλ puis par continuité de exp).

Finalement lim P(Xn = k) = e−λ n→+∞ λk k! Q.5 Pour1 ≤ i ≤ n, on note Bi la variable de Bernouilli valant 1 si le candidat est interrogé le jour 1 de son anniversaire.

C’est une variable de Bernoulli de paramètre 365 . Xn est la somme de Bi .

Comme les Bi sont des variables indépendantes, Xn suit une loi binomiale (dont l’espérance est donnée par le cours ou par linéarité comme somme des espérances des Bi ). Xn ,→ B(n, 1/365), E(Xn ) = n 365 1 Q.6 Comme 365 ≤ 0, 01, on est dans le cadre d’approximation précédente et on peut considérer que 219 Xn suit une loi de Poisson de paramère 365 = 35 .

La probabilité que Xn soit égal à 2 (c’est une 9 1 façon de comprendre l’énoncé) est approché par e−3/5 25 2! et comme −3/5 = −0, 6, P(Xn = 2) ≈ 0, 099 On peut aussi comprendre l’énoncé comme “au moins deux étudiants sont convoqués le jours de leur anniversaire”.

Il faut alors estimer P(Xn ≥ 2) = 1 − P(Xn = 0) − P(Xn = 1) = 1 − e−0,6 (1 + 3/5).

On obtient P(Xn = 2) ≈ 0, 12 Problème Questions préliminaires Q.7 Par hypothèse, il existe une base de Rn dans laquelle u est représenté par D = diag(d1 , .

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, dn ) où les di sont tous des valeurs propres de u (il suffit de choisir une base de diagonalisation). P (u) est alors représenté par P (D) = diag(P (d1 ), .

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, P (dn )).

Chaque di étant racine de P , on conclut que P (D) = 0 et donc que P (u) = 0. P = (X − λ1 ) .

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(X − λp ) est annulateur de u 2 Q.8 Les µi étant deux à deux distincts, les polynômes X − µi sont premiers entre eux deux à deux. Par lemme des noyaux, r M ker(Q(u)) = ker(u − µi Id) i=1 Rn Q annulant u, cet espace est égal à tout entier.

En ne conservant que les µi tels que ker(u − µi Id) 6= {0} et en concaténant des bases de ces espaces, on obtient une base de Rn dans laquelle u est représenté par une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux font tous partie des µi .

Ainsi, u est R-diagonalisable et Sp(u) ⊂ {µ1 , .

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, µr }   a b Un exemple où la matrice est diagonalisable sur R c d Q.9 On a χV.... »