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« Optimisation de l’aire d’un triangle Introduction Nous voulons démontrer que le triangle équilatéral a l’aire maximale parmi tous les triangles ayant le même périmètre.

Pour cela, nous utilisons la formule de Héron qui donne l’aire d’un triangle en fonction de ses côtés. Un triangle existe si et seulement s’il respecte les inégalités triangulaires: a + b > c, a + c > b, b+c>a On ne va donc pas considérer le triangle plat comme un triangle (car son aire est nulle). Formule de Héron La formule de Héron permet de calculer l’aire A d’un triangle à partir des longueurs de ses côtés a, b, c et de son demi-périmètre s = P2 .

La relation est la suivante : Formule de Héron A= p s(s − a)(s − b)(s − c) Pour simplifier nos calculs, nous travaillons avec l’aire au carré : A2 = s(s − a)(s − b)(s − c) Nous allons utiliser les variables ε et δ de manière à ce qu’elles respectent les inégalités triangulaires.

Donc ε et δ sont définies sur [0, a2 [. Remarque: le demi-périmètre est plus grand que chacun des côtés s > a, b, c car: b + c > a ⇔ a + b + c > 2a ⇔ s = 1 a+b+c >a 2 Triangle à base fixe c−ε c+ε b On utilise la formule de Héron pour exprimer l’aire du triangle: A2base fixe   2      2 2c + b 2c + b b − 4ε2 2c + b 2c + b 4c − b2 =.... »