grand oral de maths : Le football, une histoire de chance ?

« Le football, une histoire de chance ? Imaginez un instant, 14 juillet 2024, il est 23h30 au Stade olympique de Berlin, l’équipe de France est en finale de l’Euro face à son rival de toujours, l’Angleterre.

À la suite d’un score de parité, les deux équipes se doivent de se départager au travers de l'exercice des tirs au but.

La tension est à son comble, le stade est en ébullition, les regards sont tournés vers un seul homme.

Les français retiennent leur souffle, le joueur avance vers le point de penalty, ajuste son tir, et, en une fraction de seconde, tout peut basculer.

Aujourd’hui, je vous propose d’analyser cet exercice très connu du football afin d’établir la probabilité de transformer son tir aux buts.

Étant passionné de football et après avoir suivi de multiples séances de tirs aux buts, je me suis demandé si les mathématiques pouvaient aider les joueurs à réussir les tirs.

Ainsi, nous pouvons nous questionner : le football n'est-il qu'une affaire de chance ? Est-ce une question de compétence pure, ou y a-t-il une part de hasard? Dans le but de répondre à cette problématique, nous tenterons tout d’abord de déterminer la probabilité de transformer son tirs en but.

Puis, nous nous pencherons sur une séance de tirs aux buts spécifiques. Enfin, nous chercherons à comprendre pourquoi certains joueurs échouent lors de cet exercice. Dans un premier temps, analysons la réussite et l’échec des footballeurs sur l’exercice des tirs aux buts autrement appelés penalties.

N'est-ce finalement que du hasard ? Quoi de plus simple de marquer un but quand on est à 9,15 mètres d’une cage mesurant 7 mètres de large et 2 mètres 50 de hauteur avec pour seul adversaire un gardien de but ? Pourtant chaque semaine, nous voyons des penalties totalement ratés ou arrêtés par un gardien en état de grâce. C’est au regard de cette situation que le quotidien français Le Monde a décidé d’investiguer et d’analyser cet exercice spécifique du football. Ainsi, le journal a effectué une étude au cours de la saison 2020-2021 sur ces fameux tirs aux buts afin de mieux comprendre pourquoi certains footballeurs étaient plus efficaces que d’autres.

Le Monde a donc analysé près de 311 penalties, échantillon assez conséquent pour établir une analyse statistique à caractère générale qui pourrait s’appliquer à l’ensemble des penalties. Dans un premier temps, l’étude laisse ressortir que sur 94% des tirs étaient cadré, tandis que 6% des frappes étaient hors cadre et se dirigeaient donc vers l'extérieur du but.

Ce facteur est essentiel dans l’analyse des probabilités que je vais effectuer prochainement dans le sens où il est à la base de l’élaboration d’un arbre de probabilité correct. Le cadrage du tir peut donc être mathématiquement assimilé à une épreuve de Bernoulli dont le succès est “le tir est cadré”, de probabilité p=0,94. Par ailleurs, les tirs cadrés sont répartis en 9 zones bien distinctes que vous pouvez observer sur la feuille devant vous dans le cadre numéro 2. Cette analyse permet donc de compléter notre arbre pondéré. En effet, sur le cadre 3, l’étude nous montre que 57% des tirs sont frappés à ras de terre, c’est à dire en bas de la cage, tandis que 30% sont placés au milieu et 13% sous la barre, autrement dit aux plus hauts points de la cage. On constate alors que les joueurs privilégient davantage la zone la plus basse de la cage lors de leurs tirs.

Cependant, lorsqu’on observe la zone où les joueurs ont le plus réussi à marquer, cet ordre s’inverse.

En effet, comme vous pouvez le constater sur le cadre numéro 4, quand les joueurs tirent dans le tiers inférieur de la cage, il y a but dans 80% des cas, contre 87% dans le tiers du milieu et 100% dans le tiers le plus haut. Ainsi, quand le joueur arrive à placer un ballon dans les lucarnes sup, c’est-à-dire dans les angles des montants, le gardien n’arrive jamais à l'arrêter.

Pourtant, on remarque que lorsque les tireurs visent le bas de la cage, la probabilité que le penalty soit transformé est la plus faible. Cette situation peut alors paraître paradoxale : les joueurs décident d’orienter leurs frappes dans la zone où les gardiens sont les plus performants, dans la majeure partie des cas. Ainsi, grâce à l’ensemble de ces données nous pouvons dresser un arbre pondéré à 3 niveaux : On note alors : ● C l'évènement “le tir est cadré” ● H l’évènement “le tir est envoyé dans le haut de la cage” ● Ce l’évènement “le tir est envoyé au centre de la cage” ● B l’évènement “le tir est envoyé en bas de la cage” ● M l’évènement “le but est marqué” ● et enfin C barre et M barre les évènements contraires des évènements C et M (frappe non cadrée et but non marqué) Suite aux différentes données de cette étude, je trouvais pertinent de calculer la probabilité de marquer son penalty en intégrant l’ensemble de ces statistiques. Dès lors, déterminons P(M) à savoir la probabilité que le penalty soit marqué : Les évènements C, C Barre et H Ce et B forment une double partition de l’univers. Dans un premier temps, utilisons la formule des probabilités composées: Ainsi la probabilité que le penalty soit à la fois cadré, tiré vers le haut et marqué fait référence au produit de la probabilité que le tir soit cadré, que le tir soit tiré en haut et finalement que le tir soit marqué.

On parle alors de l’issue (C;H;M) La probabilité que l’issue (C;H;M) se réalise est donné par : P(C∩H∩M)=P(C)×PC(H)×PC∩H(M) = 0,94×0,13×1 = 0,12 Ainsi, la probabilité que le penalty soit cadré, tiré en haut et marqué et de environ 12%. On utilise cette même formule des probabilités composées pour les 2 autres.... »