Maths Devoir - Nombres duaux et biréels 4h, calculatrice autorisée

« Devoir - Nombres duaux et biréels 4h, calculatrice autorisée Le devoir constitue une introduction aux nombres duaux et aux nombres biréels.

Il contient 4 parties, en plus d’une introduction : • Dans la première partie, on rappelle les notions élémentaires sur les nombres complexes vis-à-vis de leurs formes algébriques et trigonométriques, ainsi que des représentations graphiques. • La deuxième partie étudie les nombres duaux et biréels en cherchant des propriétés analogues entre ces nombres-là et les nombres complexes. • La troisième partie s’intéresse au lien entre les nombres duaux et la dérivation de fonctions. • La quatrième partie introduit les méthodes matricielles pour étudier les nombres complexes, duaux et biréels. Les questions commencent à la page suivante.

16 points sont répartis entre les parties, et les 4 points restants sont dédiés à la rédaction, qui est prise en compte de la manière suivante : ⋆ Il ne faut pas se contenter d’écrire la réponse, il faut que l’on puisse comprendre ce qui a été fait et appliqué pour arriver au résultat. ⋆ Les étapes inutiles sont déconseillées.

N’oublie pas d’utiliser des brouillons ! ⋆ L’usage de connecteurs logiques (utiliser des implications, équivalences, « donc »& cie, des phrases construites qui expliquent ce qui est nécessaire, etc) ⋆ On s’attend bien sûr à ce que l’écriture soit lisible. Bon courage ! 1 Partie 1 : Rappels sur les nombres complexes 1.

On rappelle les propriétés suivantes sur la forme algébrique d’un nombre complexe. (a) Rappeler la définition de l’unité imaginaire i et d’un nombre complexe z ∈ C.

Placer quelques points dans le plan complexe, en explicitant les nombres placés. (b) Soient z et z ′ deux nombres complexes.

Exprimer z + z ′ et zz ′ . (c) Soit z ∈ C.

Rappeler la définition du conjugué de z, noté z (d) Exprimer les nombres suivants sous forme algébrique : z2, z2, zz 1 ? i 2.

On rappelle les propriétés suivantes sur la forme trigonométrique d’un nombre complexe. (e) Quelle est la forme algébrique de (a) Rappeler la définition du module d’un nombre complexe z, noté |z|, et l’interpréter géométriquement.

Exprimer |z|2 en fonction de z et de z. (b) Représenter graphiquement l’ensemble des nombres complexes de module 1. (c) Rappeler la forme générale de la forme trigonométrique d’un nombre complexe. Partie 2 : Nombres duaux et analogies avec les nombres complexes On introduit l’unité duale ε telle que : ε2 = 0, ε ̸= 0 On définit alors l’ensemble des nombres duaux : E = {z = a + bε, (a, b) ∈ R2 } C’est une construction analogue à la construction des nombres complexes, et on introduit de même la forme algébrique du nombre dual z = a + bε avec a la partie réelle et b la partie imaginaire. 3.

Déterminons quelques propriétés des nombres duaux. (a) Soient z et z ′ deux nombres duaux.

Expliciter sous forme algébrique z + z ′ et zz ′ . (b) Exprimer sous forme algébrique les identités duales suivantes : (a + bε)2 , (a − bε)2 , (a + bε)(a − bε), (1 + bε)(1 + b′ ε) (c) ε possède-t-il un inverse ? Si oui, l’expliciter sous forme algébrique.

Si non, expliquer le problème rencontré et déterminer tous les nombres duaux qui ne sont pas inversibles. 1 (d) Déterminer la forme algébrique de . 1+ε On admet que bε = b′ ε =⇒ b = b′ .

On peut interpréter cela comme l’égalité des parties imaginaires, qui est indépendante d’une éventuelle division par ε. 4.

On définit le conjugué d’un nombre dual z = a + bε comme z = a − bε.

On définit alors le module d’un nombre dual z, noté |z|, par |z|.... »