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« Cours de mathématiques pour les classes préparatoires Chapitre 1 Logique et raisonnement 1.1 Rudiments de logique 1.1.1 Axiomes, définitions, théorèmes Axiomes.

Dans une théorie formelle quelconque, mathématique ou non, on appelle axiomes les propositions que la théorie tient pour vraies sans justification comme points de départ.

L’objectif des mathématiques fondamentales est justement de démontrer des résultats à partir de ces axiomes fondamentaux. Definitions.

Donner une définition c’est nommer un objet ou un type d’objet vérifiant certaines propriétés.

Attention définir quelquechose ne garantit pas son existence.

De plus, il ne faut pas qu’un même nom puisse signifier des choses différentes.

L’homonymie est tolérée dans le langage usuel mais pas en mathématiques, par souci de rigueur formelle. Exemple : • Le mot « cours » peut signier le cours (de mathématiques), les cours (de récréation), les cours (de bourses), le cours (d’eau) etc.

D’un point de vue du langage la distinction est claire selon le contexte.

En mathématiques, le souci de la rigueur et de la cohérence imposent parfois des vérifications ou bien des mises en contexte lorsqu’on utilise une définition.

Il faut alors comprendre que certaines définitions dépendent d’un contexte particulier. • Le mot « raison » d’une suite, est mal défini.

Il manque ici un complément.

En effet, la notion de raison d’une suite n’est définie qu’en cas de présence d’une suite géométrique ou bien d’une suite arithmétique.

La définition n’est pas la même.

Dans un cas on multiplie successivement dans l’autre cas on ajoute successivement. Pour définir la classe des objets « xxx », il y a essentiellement deux rédactions possibles. On appelle « xxx » tout objet tel que... ou encore Soit x un objet.

On dit que x est un « xxx » s’il vérifie... Definir une classe d’objets Théorèmes.

Une proposition est un énoncé qui est soit vrai soit faux, les deux cas s’excluant mutuellement.

On appelle théorème toute proposition d’une théorie que l’on a pu démontrer à partir de ses axiomes.

Une théorie n’est finalement qu’un empilement ordonné d’axiomes, de démonstrations et de théorèmes.

Trois autres mots sont couramment utilisés pour désigner certaines formes de théorèmes : • Lemmes : On appelle lemme tout théorème préparatoire à la démonstration d’un « plus gros » théorème.

La démonstration d’un gros théorème peut ainsi se trouver décomposée sous démonstrations plus petites. • Corollaires : On appelle corollaire tout théorème qui est une conséquence presque immédiate d’un « plus gros » théorème. • Caractérisations : On appelle caractérisation tout théorème sur une notion qui donne une condition équivalente à la définition de cette notion.

Une caractérisation est donc au fond ce qu’on pourrait appeler une « plus gros » avec un autre point de vue. 10 1.1.2 Connecteurs logiques Soient P et Q deux propositions. • non P, appelée négation de P, est une proposition qui est vraie lorsque P est fausse et fausse lorsque P est vraie; • P et Q est une proposition qui est vraie lorsque P et Q sont toutes les deux vraies, fausse dans tous les autres cas; • P ou Q est une proposition qui est vraie lorsque l’une au moins des propositions P ou Q est vraie, fausse dans l’unique cas où P et Q sont fausses. Définition Remarque : • Le ou mathématique est dit inclusif : ³ P ou Q ´ est entre autre vraie si les deux propositions P et Q sont vraies. Ce n’est pas toujours le cas en langage courant : « Un être humain est un homme ou une femme ». • Les propositions non (a = b) et non (x ∈ E) sont abrégées en a 6= b et x ∉ E. • On peut étudier les valeurs de vérité d’une proposition grâce à un tableau appelé table de vérité (V pour Vrai et F pour Faux) . P Q non P P et Q P ou Q V V F V V V F F F V F V V F V F F V F F Soient P et Q deux propositions. On note P =⇒ Q la proposition ³ (non P) ou Q ´ . Le connecteur =⇒ est appelé implication et P =⇒ Q se lit « P implique Q » Définition : Implication P Q non P P =⇒ Q V V F V V F F F F V V V F F V V Remarque : • Si P est fausse, la proposition P =⇒ Q est vraie • Si P =⇒ Q est vraie et si P est vraie, alors Q est vraie. • En français, l’implication P =⇒ Q est vraie est traduite par « Si P est vraie alors Q est vraie ». • Lorsque P =⇒ Q est vraie, on dit que : • Q est une condition nécessaire de P ou que « pour que P soit vraie, il faut que Q soit vraie » • P est une condition suffisante de Q ou que « pour que Q soit vraie, il suffit que P soit vraie » BLe connecteur =⇒ n’est pas un raccourci typographique de « donc ». En effet, lorsque l’on écrit P =⇒ Q est vraie, on ne sait pas à priori si P est vraie ou non ni si Q est vraie ou non.

En revanche, quand on écrit : « On a P donc Q » cela signifie : « je sais que P est vraie, j’en déduis que Q est également vraie ». Soient P et Q deux propositions. On note P ⇐⇒ Q la proposition ³ P =⇒ Q et Q =⇒ P ´ . Le connecteur ⇐⇒ est appelé équivalence et la proposition P ⇐⇒ Q se lit « P équivaut à Q ». Définition : Equivalence P Q P =⇒ Q Q =⇒ P P ⇐⇒ Q V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V Remarque : 11 • P ⇐⇒ Q est vraie si et seulement si P et Q sont soit simultanément vraies soit simultanément fausses. Ainsi, P ⇐⇒ Q est vraie si P et Q ont même valeur de vérité et fausse sinon. • En français, l’équivalence se traduit par : « si et seulement si », « il faut et il suffit ». • Lorsque P ⇐⇒ Q est vraie, on dit que P est une condition nécessaire et suffisante de Q. Soient P, Q et R trois propositions. • ³ (P et Q) ou R ´ est équivalente à ³ (P ou R) et (Q ou R) ´ . • ³ (P ou Q) et R ´ est équivalente à ³ (P et R) ou (Q et R) ´ . Proposition : Distributivité Démonstration.

Ce résultat peut se prouver via une table de vérité. Soient P et Q deux propositions. • non (P ou Q) est équivalente à ³ (non P) et (non Q) ´ . • non (P et Q) est équivalente à ³ (non P) ou (non Q) ´ • non (non P) est équivalente à P • non ³ P =⇒ Q ´ est équivalente à ³ P et (non Q) ´ Proposition : Négation des connecteurs logiques Démonstration.

Ce résultat peut se prouver via une table de vérité. Soient P et Q deux propositions. • On appelle réciproque de l’implication P =⇒ Q, l’implication Q =⇒ P. • On appelle contraposée de l’implication ³ P =⇒ Q ´ , l’implication ³ non Q =⇒ non P ´ Définition Remarque :BAttention à ne pas confondre contraposée et réciproque. Exemple : Soit x ∈ R, considérons l’implication : x > 0 =⇒ x ≥ −1. Sa réciproque est : x ≥ −1 =⇒ x > 0 Sa contraposée est : x < −1 =⇒ x ≤ 0 Soient P et Q deux propositions.

L’implication P =⇒ Q et sa contraposée sont équivalentes. Proposition : Contraposition Remarque : Cette proposition sera la base d’une méthode de raisonnement. 1.1.3 Quantificateurs Soit P(x) une proposition dépendant d’un élément x d’un ensemble E. • la proposition ∀x ∈ E,P(x), qui se lit « pour tout x appartenant à E, on a P(x) », est vraie lorsque P(x) est vraie pour tout élément x de E. • la proposition ∃x ∈ E, P(x), qui se lit « il existe x appartenant à E tel que P(x) », est vraie lorsque P(x) est vraie pour au moins un élément x de E. • la proposition ∃!x ∈ E, P(x), qui se lit « il existe un unique x appartenant à E tel que P(x) », est vraie lorsque P(x) est vraie pour un unique élément x de E. Définition Remarque : 12 • L’ordre des quantificateurs a une importance : Exemple : ∀x ∈ R, ∃y ∈ R+, x 2 = y 2 ∃y ∈ R+,∀x ∈ R, x 2 = y 2 On peut toujours intervertir deux quantificateurs de même nature.

En revanche, dans le cas général, on ne peut pas intervertir deux quantificateurs de nature différente. ∀x ∈ E, ∃y ∈ F, P(x, y) signifie que pour tout élément x de E, il existe au moins un élément y de F qui dépend de x (à priori) tel que ... ∃y ∈ F, ∀x ∈ E, P(x, y) signifie qu’il existe un élément y de F, le même pour tous les x de E, tel que ... • Les quantificateurs ne peuvent pas être utilisés comme abréviations sur une copie.

Ainsi, il ne faut pas mélanger les quantificateurs et le langage français. • Dans la proposition ∀x ∈ E, P(x) (resp.

∃x ∈ E, P(x)), la variable x est dite muette.

Cette expression a exactement le même sens que ∀y ∈ E, P(y) (resp.

∃y ∈ E, P(y)). • La proposition (∀x ∈ ;, P(x)) est toujours vraie.

Alors que la proposition (∃x ∈ ;, P(x)) est toujours fausse. Pour montrer un énoncé du type ∀x ∈ E, P(x), on fixe un élément quelconque x de E et on démontre que P(x) est vraie.

La rédaction est donc la suivante : Soit x ∈ E. ...

¾ preuve de P(x). Méthode : montrer un énoncé commençant par ∀ Exemple : Soit f : ½ R → R x 7→ x 2 + x +1 .

Montrer que : ∀x ∈ R, f (x) > 0. Soit x ∈ R. On a x 2 + x +1 = ¡ x + 1 2 ¢2 + 3 4 . or : ¡ x + 1 2 ¢2 ≥ 0 et 3 4 > 0. donc : f (x) > 0 par somme. Remarque : Pour montrer que la proposition ³ ∀x ∈ E,P(x) ´ est fausse, il suffit de trouver un x ∈ E, tel que P(x) est fausse.

On appelle ceci un raisonnement par contre exemple. • Pour montrer un énoncé du type ∃x ∈ E, P(x), il faut construire un x ∈ E pour lequel P(x) est vraie. On recherche au brouillon un x adapté.

Puis on rédige ainsi : Posons x = .... x ∈ E car ... ...

¾ preuve de P(x). • Pour montrer qu’un objet x vérifiant P(x) est unique, on se donne x et y vérifiant la propriété, et on montre que x = y.

La rédaction est alors : Soient x, y ∈ E. Supposons que P(x) et P(y) sont vraies. ...

¾ preuve que x = y. Méthode : Montrer un énoncé commençant par ∃ et unicité Exemple : Montrer que : ∃!x ∈ R ∗ +, x 2 = 1. Remarque : Lorsque l’on écrit : « il existe x ∈ E tel que P(x) » .

« il existe » signifie ici « il en existe et j’en prends un que je nomme x ».

Je pourrai ainsi utiliser la notation x dans le reste du problème. En revanche, lorsque l’on écrit « ∃x ∈ E, P(x) », x est une variable muette.

Ainsi, x n’est pas une notation que l’on peut utiliser dans le reste du problème. BLa proposition (∃x ∈ E, P(x)) et (∃x ∈ E, Q(x)) n’implique pas en général ∃x ∈ E, (P(x) et Q(x)). En effet, la variable x étant dans les deux cas muette, rien ne dit que les deux x de (∃x ∈ E, P(x)) et (∃x ∈ E, Q(x)) se réfèrent au même élément de E. Si l’on souhaite déduire des informations de la proposition (∃x ∈ E, P(x)) et (∃x ∈ E, Q(x)), on commencerait par écrire : Il existe x1 ∈ E tel que P(x1) et il existe x2 ∈ E tel que Q(x2). 13 Soit P(x) une proposition dépendant d’un élément x d’un ensemble E. • non ³ ∀x ∈ E, P(x) ´ est équivalente à ³ ∃x ∈ E, non P(x) ´ . • non ³ ∃x ∈ E, P(x) ´ est équivalente à ³ ∀x ∈ E, non P(x) ´ . Proposition : Négation des quantificateurs Exemple : Nier les propositions suivantes : P1 : ∃x ∈ R,x 2 +3x −3 = 0 P2 : ∀x ≥ 1, x 2 ≥ 0 P3 : ∃M ∈ R+,∀x ∈ R, 1 x 2 +1 ≤ M. P4 : ∀² > 0,∃α > 0,∀x ∈ R, ¡ |x −1| < α =⇒ |p x −1| < ² ¢ . 1.2 Méthodes de raisonnement 1.2.1 Raisonnement par l’absurde Pour montrer qu’une proposition P est vraie, on peut supposer son contraire (non P) et arriver à une absurdité. Méthode : Raisonnement par l’absurde Exemple : Soit n ∈ N ∗ , montrer que p n 2 +1 6∈ N. 1.2.2 Démonstration d’une implication Soient P et Q deux propositions. Trois types de raisonnement peuvent être mis en œuvre pour démontrer une implication. Pour montrer directement l’implication P =⇒Q, on suppose que P est vraie et on démontre que Q vraie. On écrit : Supposons P vraie. ...

¾ preuve de Q. Méthode directe Exemple : Soit x ∈ R, montrer que : x ≥ 1 =⇒ x 2 ≥ 1. L’implication P =⇒Q est équivalente à sa contraposée ³ non Q =⇒ non P ´ . Ainsi, pour montrer que l’implication P =⇒Q est vraie, on peut prouver que ³ non Q =⇒ non P ´ est vraie. Raisonnement par contraposée Exemple : Soit x ∈ R, montrer que : x ≥ 1 =⇒ x 2 ≥ 1. Pour démontrer par l’absurde l’implication P =⇒ Q, on suppose que P est vraie et que Q est fausse.

On montre alors que ceci conduit à une contradiction. Raisonnement par l’absurde Exemple : Soit x ∈ R, montrer que : x ≥ 1 =⇒ x 2 ≥ 1. 1.2.3 Démonstration d’une équivalence Pour montrer que P ⇐⇒Q, on procède souvent par double implication.

On montre alors séparément que P =⇒Q et que Q =⇒ P Raisonnement par double implication 14 Exemple : Soit n ∈ N, montrer que n est pair si et seulement si n 2 est pair. Pour montrer que P ⇐⇒ Q, on peut aussi chercher à passer de P à Q par une succession d’équivalences, en s’assurant qu’à chaque étape, l’équivalence est bien conservée. Cette méthode est particulièrement adaptée à la résolution d’équations ou d’inéquations. Raisonnement par équivalence Exemple : Résoudre dans R l’équation x = p 6+ x. 1.2.4 Raisonnement par analyse-synthèse Pour déterminer l’ensemble des objets vérifiant une propriété P, on peut raisonner en deux temps. Analyse : on suppose qu’une solution du problème existe et on essaie de déterminer des renseignements sur cette solution. Synthèse : on examine toutes les hypothétiques solutions trouvées dans la première partie et on détermine si elles vérifient bien la propriété souhaitée. Méthode : Raisonnement par analyse-synthèse Remarque : • Ce mode de raisonnement peut permettre de montrer existence et unicité d’une solution : si la phase d’analyse donne un seul x, elle montre l’unicité (sous réserve d’existence).

Dans la phase de synthèse, on vérifie que x convient donc on montre l’existence. • Dans la phase d’analyse, on détermine des conditions nécessaires pour que x soit solution du problème.

La phase de synthèse donne quant à elle des conditions suffisantes. 1.2.5 Raisonnement par disjonction des cas Soient P, Q et R trois propositions.

Si l’implication P ⇒ R et l’implication Q ⇒ R sont vraires alors l’implication ³ P ou Q ´ ⇒ R est vraie aussi. Proposition Démonstration.

Cet énoncé se démontre en utilisant les tableas de vérité. Pour montrer qu’une proposition est vraie il est parfois utile de se placer dans différents cas particuliers plus simples.

Si tous les cas traités forment une proposition vraie et que dans tous les cas on aboutit à un même proposition alors (par définition de l’implication) cette dernière proposition devient vraie. Soient P,Q et R trois propositions.

On sait que P ou Q ou R est vraie.

Pour démontrer que la proposition T est vraie, il suffit de montrer le système d’implications suivant :    P ⇒ T Q ⇒ T R ⇒ T . Méthode : Raisonnement par disjonction des cas Exemple : On fixe un entier naturel n ∈ N.

Montrer que n(n+1) 2 est encore un entier naturel. Deux cas sont possibles n est pair ou bien impair. Cas n°1 : n est pair.

Alors n/2 est un entier et n +1 est aussi un entier.

Par produit, n(n+1) 2 est encore un entier naturel. Cas n°2 : n est impair.

Alors n +1 est un nombre pair et donc (n +1)/2 est un nobre entier et à nouveau par produit, n(n+1) 2 est encore un entier naturel. Dans tous les cas n(n+1) 2 ∈ N.

Donc n(n+1) 2 ∈ N est vraie. 15 1.2.6 Raisonnement par récurrence Soit P(n) une proposition dépendant de n ∈ N. Si : • P(0) est vraie, • ∀n ∈ N, P(n) =⇒ P(n +1); alors pour tout n ∈ N, P(n) est vraie. Théorème : Principe de récurrence simple Remarque : • La première propriété est l’initialisation, la seconde l’hérédité. • On peut de même montrer qu’une propriété est vraie pour tout entier n ≥ n0 , on initialise alors avec P(n0) et l’hérédité devient : ∀n ≥ n0, P(n) =⇒ P(n +1). Exemple : Montrer que : ∀n ∈ N ∗ , 2n > n. Soient p ∈ N ∗ et P(n) une proposition dépendant de n ∈ N. Si : • P(0),P(1),...P(p −1) sont vraies, • ∀n ∈ N, (P(n) et ...

et P(n + p −1)) =⇒ P(n + p); alors pour tout n ∈ N, P(n) est vraie. Théorème : Principe de récurrence d’ordre p Remarque :BAttention de ne pas oublier d’initialiser la récurrence pour p entiers consécutifs! Exemple : Soit (un)n∈N la suite définie par :    u0 = 1 u1 = 6 ∀n ∈ N, un+2 = 6un+1 −9un Montrer que : ∀n ∈ N, un = (n +1)3n . Soit P(n) une proposition dépendant de n ∈ N. Si : • P(0) est vraie, • ∀n ∈ N, ³ ∀k ∈ ‚0,nƒ,P(k) ´ =⇒ P(n +1); alors pour tout n ∈ N, P(n) est vraie. Théorème : Principe de récurrence « forte » Remarque : L’hérédité peut se lire « Supposons la propriété vraie jusqu’au rang n.

» 16 Chapitre 2 Ensembles et applications 2.1 Ensembles 2.1.1 Définitions Un ensemble est une collection d’objets.

Chacun de ces objets est appelé élément de cet ensemble.

Si x est un élément d’un ensemble E, alors on dit que x appartient à E et on note x ∈ E.

Dans le cas contraire, on dit que x n’appartient pas à E et on note x ∉ E. Deux ensembles E et F sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes éléments i.e ∀x ∈ E,x ∈ F et ∀x ∈ F,x ∈ E Définition Exemple : • L’ensemble vide, noté ; est l’ensemble ne contenant aucun élément. • Un ensemble constitué d’un unique élément est appelé singleton. • BNe pas confondre l’élément x et le singleton {x}. Un ensemble peut être défini : • en donnant la liste de ses éléments entre accolades (l’ordre n’a pas d’importance). Exemple : A = {1, 3, 4} = {4, 1, 3} B = {f1, f2}, où f1 désigne la fonction constante égale à 1 et f2 la fonction de R dans R telle que : ∀x ∈ R, f2(x) = x 2 . • en énonçant une propriété caractérisant ses éléments. Exemple : C = {n ∈ N ,n pair} D = {f : R → R,∀x, y ∈ R, f (x + y) = f (−x)+ f (−y)} Soient E et F deux ensembles. On dit que F est inclus dans E et on note F ⊂ E ssi tous les éléments de F appartiennent à E, c’est à dire : ∀x ∈ F, x ∈ E. On dit alors que F est une partie de E ou que F est un sous-ensemble de E. On note P (E) l’ensemble des parties de E. Définition Remarque : • On a : F ∈ P (E) ⇐⇒ F ⊂ E • BP (E) est un ensemble dont les éléments sont eux-mêmes des ensembles. Exemple : Remarque : On a toujours E ∈ P (E) et ; ∈ P (E). 17 Soient E,F deux ensembles.

On a : E = F si et seulement si E ⊂ F et F ⊂ E. Proposition • Pour montrer que F ⊂ E, le modèle de rédaction est : Soit x ∈ F. Raisonnement Alors, x ∈ E. On a donc F ⊂ E. • Montrer que E = F : Sauf dans les cas simples, où l’on peut montrer directement que x ∈ E équivaut à x ∈ F par équivalence, on raisonnera souvent par double inclusion pour montrer une égalité d’ensemble. Méthode : inclusion et égalité d’ensembles 2.1.2 Opérations sur les parties d’un ensemble Soient E un ensemble, A et B deux sous-ensembles de E. 1.

L’intersection de A et B, noté A ∩B, est l’ensemble des éléments de E appartenant à la fois à A et à B : A ∩B = {x ∈ E , x ∈ A et x ∈ B} 2.

La réunion de A et B, noté A ∪B, est l’ensemble des éléments de E appartenant à A ou à B : A ∪B = {x ∈ E , x ∈ A ou x ∈ B} 3.

La différence de A et B, noté A \B, est l’ensemble des éléments de A qui ne sont pas dans B. A \B = {x ∈ E,x ∈ A et x 6∈ B} = {x ∈ A,x 6∈ B} 4.

le complémentaire de A dans E, noté C A E ou E \ A est l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A. C A E = E \ A = {x ∈ E , x ∉ A} Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté sur E, le complémentaire de A dans E est aussi noté A. Définition (a) Schéma de A ∪B (b) Schéma de A ∩B (c) Schéma de A \B (d) Schéma de C A E Remarque : • On a : A \B = A ∩C B E . 18 • Soient E un ensemble et A,B ∈ P (E).

Alors, on a toujours les inclusions suivantes : A ∩B ⊂ A ⊂ A ∪B, A ∩B ⊂ B ⊂ A ∪B. Soient E un ensemble et A,B deux sous-ensembles de E. On dit que A et B sont disjoints si A ∩B = ;. Définition Soient A, B et C trois parties d’un ensemble E. 1.

L’intersection et l’union sont commutatives : A ∩B = B ∩ A et A ∪B = B ∪ A. 2.

L’intersection et l’union sont associatives : A ∩(B ∩C) = (A ∩B)∩C A ∪(B ∪C) = (A ∪B)∪C On pourra omettre les parenthèses et noter A ∩ B ∩C l’ensemble des éléments communs aux trois sousensembles A, B et C et noter A ∪ B ∪C l’ensemble des éléments qui sont dans l’un au moins des trois sous-ensembles A, B ou C. 3.

A ∩E = A A ∩ ; = ; A ∪E = E A ∪ ; = A. 4.

L’intersection et la réunion sont distributives l’une par rapport à l’autre : A ∩(B ∪C) = (A ∩B)∪(A ∩C), A ∪(B ∩C) = (A ∪B)∩(A ∪C). Proposition : Propriétés algébriques de l’intersection et l’union Démonstration. 1.

Montrons que A ∩B = B ∩ A. Soit x ∈ E. x ∈ A ∩B ⇐⇒ x ∈ A et x ∈ B ⇐⇒ x ∈ B et x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B ∩ A. 2.

Montrons que A ∩(B ∩C) = (A ∩B)∩C. Soit x ∈ E. x ∈ A ∩(B ∩C) ⇐⇒ x ∈ A et x ∈ B ∩C ⇐⇒ x ∈ A et (x ∈ B et x ∈C) ⇐⇒ (x ∈ A et x ∈ B) et x ∈C ⇐⇒ (x ∈ A ∩B) et x ∈C ⇐⇒ x ∈ (A ∩B)∩C. • Montrons que : A ∩(B ∪C) = (A ∩B)∪(A ∩C). Soit x ∈ E, on a : x ∈ A ∩(B ∪C) ⇐⇒ x ∈ A et x ∈ B ∪C ⇐⇒ x ∈ A et (x ∈ B ou x ∈C) ⇐⇒ (x ∈ A et B) ou (x ∈ A et C) ⇐⇒ (x ∈ A ∩B) ou (x ∈ A ∩C) ⇐⇒ x ∈ (A ∩B)∪(A ∩C) On montre de même l’égalité A ∪(B ∩C) = (A ∪B)∩(A ∪C). 19 • Montrons que : A ∪(B ∩C) = (A ∪B)∩(A ∪C).

Soit x ∈ E, on a : x ∈ A ∪(B ∩C) ⇐⇒ x ∈ A ou x ∈ B ∩C ⇐⇒ x ∈ A ou (x ∈ B et x ∈C) ⇐⇒ (x ∈ A ou B) et (x ∈ A ou C) ⇐⇒ (x ∈ A ∪B) et (x ∈ A ∪C) ⇐⇒ x ∈ (A ∪B)∩(A ∪C) Soient A et B deux parties d’un ensemble E. 1.

C ; E = E, C E E = ;. 2.

A ∪C A E = E et A ∩C A E = ;. 3.

C C A E E = A 4.

A ⊂ B ⇐⇒ C B E ⊂ C A E . 5.

C A∩B E = C A E ∪C B E C A∪B E = C A E ∩C B E . Proposition : Propriétés algébriques du complémentaire Démonstration.

3.

Montrons A = C C A E E par double inclusion. • Soit x ∈C C A E E alors x ∉C A E donc x ∈ A. • Soit x ∈ A alors x ∉C A E donc x ∈C C A E E . Ainsi, A = C C A E E . 4.

Montrons par double implication que A ⊂ B =⇒ C B E ⊂ C A E . • Supposons que A ⊂ B. Soit x ∈C B E alors ∉ B. par l’absurde : supposons que x ∈ A alors x ∈ B car A ⊂ B.

Absurde. Ainsi, x ∉ A d’où x ∈C A E .

Ainsi C B E ⊂ C A E . • Supposons que C B E ⊂ C A E . On a alors avec le point précédent C C A E E ⊂ C C B E E . Donc A ⊂ B. Ainsi, A ⊂ B =⇒ C B E ⊂ C A E . 5.

• Montrons par double inclusion que C A∪B E = C A E ∩C B E . • Soit x ∈C A∪B E . On a non(x ∈ A ∪B).

Donc non(x ∈ A ou x ∈ B). Ainsi, non(x ∈ A) et non(x ∈ B). Donc x ∉ A et x ∉ B. D’où x ∈C A E et x ∈C B E .

Donc x ∈C A E ∩C B E . • Soit x ∈CE ∩C B E .

Alors x ∈C A E et x ∈C B E . Raisonnons par l’absurde et supposons que x ∈ A ∪B.

Alors x ∈ A ou x ∈ B. Si x ∈ A alors x ∉C A E Absurde. Si x ∈ B alors x ∉C B E Absurde. Ainsi, x ∉ A ∪B donc x ∈C A∪B E . On obtient donc C A∪B E = C A E ∩C B E . • C C A E ∪C B E E = C C A E E ∩C C B E E = A ∩B. D’où C A∩B E = C C A∩B E E = C C C A E ∪C B E E E = C A E ∪C B E . 20 2.1.3 Produit cartésien • Soient E et F deux ensembles. Etant donné x ∈ E et y ∈ F, on construit le couple (x, y) de sorte que : ∀x,x 0 ∈ E, ∀y, y 0 ∈ F, (x, y) = (x 0 , y 0 ) ⇐⇒ x = x 0 et y = y 0 On appelle produit cartésien de E et F et on note E ×F, l’ensemble des couples (x, y) où x ∈ E et y ∈ F : E ×F = © (x, y) | x ∈ E et y ∈ F ª • Plus généralement, soient E1,...,En des ensembles. Etant donné x1 ∈ E1, ..., xn ∈ En, on construit le n-uplet (x1,...,xn) de sorte que : ∀x1,x 0 1 ∈ E1,..., ∀xn,x 0 n ∈ En, (x1,...,xn) = (x 0 1 ,...,x 0 n ) ⇐⇒ ∀i ∈ ‚1,nƒ, xi = x 0 i On note E1 ×...×En l’ensemble des n-uplet (x1,...,xn) où : ∀i ∈ ‚1,nƒ, xi ∈ Ei : E1 ×...×En = © (x1,...,xn) | ∀i ∈ ‚1,nƒ, xi ∈ Ei ª Si E1 = ...

= En = E, l’ensemble E1 ×··· ×Ep est noté E p . Définition 2.2 Applications Dans toute cette section, E, F, G, H désignent des ensembles non vides. 2.2.1 Définition et premiers exemples On appelle application f la donnée d’un ensemble de départ E, d’un ensemble d’arrivée F et d’une correspondance qui à tout élément x de E associe un unique élément de F noté f (x).

On la note f : ½ E → F x 7→ f (x) . Si x ∈ E et y = f (x), on dit que : • y est l’image de x par f • x est un antécédent de y par f (pas forcément unique). On appelle graphe de l’application f l’ensemble des couples {(x, f (x)),x ∈ E}. On note F(E,F) ou F E l’ensemble des applications de E dans F. Définition Diagramme sagittal. Deux applications f et g sont égales ssi elles ont même ensemble de départ E, même ensemble d’arrivée et si : ∀x ∈ E, f (x) = g (x). Proposition Egalité de deux applications 21 Soit A une partie de E. • On appelle identité de E et on note I dE l’application I dE : E → E x 7→ x • On appelle fonction indicatrice de A et on note 1A l’application 1A : E → {0, 1} x 7→ ½ 1 si x ∈ A 0 si x ∉ A Définition Soit E un ensemble et A, B deux sous-ensemble de E. A = B ⇐⇒ 1A = 1B Proposition Démonstration.

Procédons par double implication. • Supposons A = B.

Alors, on a 1A = 1B . • Supposons 1A = 1B .

Montrons par double implication A = B. • Soit x ∈ A.

On a 1A(x) = 1 donc 1B (x) = 1 donc x ∈ B.

Ainsi, A ⊂ B. • Par symétrie entre A et B, on obtient B ⊂ A Ainsi, A = B. Remarque : Attention à ne pas confondre 1A = 1 (égalité entre deux applications) et 1A(x) = 1 (évaluation d’une application en un point).

D’après la proposition précédente, on a 1A = 1 = 1E ⇐⇒ A = E Autrement dit, en écrivant 1A = 1, cela impose que A = E. Soit E un ensemble et A, B deux sous-ensemble de E. 1C A E = 1−1A, 1A∩B = 1A1B , 1A∪B = 1A +1B −1A∩B Proposition Démonstration.

• 1C A E et 1A ont même ensemble de départ E et même ensemble d’arrivée {0, 1}. Soit x ∈ E : • Si x ∈ A, alors, x ∉C A E , donc 1A(x) = 1 et 1C A E (x) = 0 d’où 1C A E (x) = 1−1A(x). • Si x ∉ A alors x ∈C A E , donc 1A(x) = 0 et 1C A E (x) = 1 d’où 1C A E (x) = 1−1A(x). Ceci montre : ∀x ∈ E, 1C A E (x) = 1−1A(x). On conclut : 1C A E = 1−1A. • 1A∩B et 1A1B ont même ensemble de départ E et même ensemble d’arrivée {0, 1}. Soit x ∈ E. • Si x ∈ A ∩B, alors x ∈ A et x ∈ B, donc 1A∩B (x) = 1, 1A(x) = 1, 1B (x) = 1, d’où 1A∩B (x) = 1 = 1A(x)1B (x). • Si x ∉ A ∩ B, alors x ∉ A ou x ∉ B, donc 1A∩B (x) = 0.

De plus, ³ 1A(x) = 0 ou 1B (x) = 0 ´ , d’où 1A∩B (x) = 0 = 1A(x)1B (x). Ceci montre : ∀x ∈ E, 1A∩B (x) = 1A(x)1B (x). On conclut : 1A∩B = 1A1B . 22 • On a, en passant par des complémentaires et en utilisant des résultats précédents : 1A∪B = 1−1C A∪B E = 1−1C A E ∩C B E = 1−1C A E 1C B E = 1−(1−1A)(1−1B ) = 1−(1−1A −1B +1A1B ) = 1A +1B −1A1B Soit A une partie de E. • Soit f : E → F une application.

On appelle restriction de f à A et on note f|A l’application f|A : A → F x 7→ f (x) • On dit que f est un prolongement de g si g est une restriction de f . Définition Soit I un ensemble fini.

On appelle famille d’éléments de E indexée par I toute application x de I dans E.

L’image de i ∈ I est noté xi plutôt que x(i) et on note (xi)i∈I une telle famille. Définition : famille 2.2.2 Composition des applications Soit f : E → F et g : F → G, on appelle composée de f par g , notée g ◦ f l’application g ◦ f : E → G x 7→ (g ◦ f )(x) = g ¡ f (x) ¢ Définition E F G f g ◦ f g Soient f : E → F, g : F →G et h : G → H.

On a : • I dF ◦ f = f et f ◦ I dE = f . • h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f . Proposition Démonstration.

• I dF ◦ f et f ont même ensemble de départ E et même ensemble d’arrivée F. Soit x ∈ E, (I dF ◦ f )(x) = I dF (f (x)) = f (x). Ainsi : ∀x ∈ E, (I dF ◦ f )(x) = f (x). Donc I dF ◦ f = f . • f ◦ I dE et f ont même ensemble de départ E et même ensemble d’arrivée F. Soit x ∈ E, (f ◦ I dE )(x) = f (I dE (x)) = f (x). Ainsi : ∀x ∈ E, (f ◦ I dE )(x) = f (x). Donc f ◦ I dE = f . • g ◦ f ∈ F(E,G) donc h ◦ (g ◦ f ) ∈ F(E,H).

De même, h ◦ g ∈ F(F,H) donc (h ◦ g ) ◦ f ∈ F(E,H). Ainsi, h ◦ (g ◦ f ) et (h ◦ g ) ◦ f ont même ensemble de départ E et même ensemble d’arrivée H. Soit x ∈ E, (h ◦ (g ◦ f ))(x) = h((g ◦ f )(x)) = h(g (f (x))). De même ((h ◦ g ) ◦ f )(x) = (h ◦ g )(f (x)) = h(g (f (x))). Donc : ∀x ∈ E, ((h ◦ g ) ◦ f )(x) = (h ◦ (g ◦ f ))(x). Ainsi, h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f . 23 2.2.3 Image directe et réciproque Soient f : E → F. • Soit A ∈ P (E), on appelle image directe de A par f et on note f (A) l’ensemble : f (A) = {y ∈ F | ∃x ∈ A, y = f (x)} = {f (x),x ∈ A}. ∀y ∈ F, y ∈ f (A) ⇐⇒ ¡ ∃x ∈ A, y = f (x) ¢ • Soit B ∈ P (F), on appelle image réciproque de B par f et on note f −1 (B) l’ensemble : f −1 (B) = {x ∈ E, f (x) ∈ B}. ∀x ∈ E, x ∈ f −1 (B) ⇐⇒ f (x) ∈ B Définition Remarque : • BAttention f −1 (B) est une notation et ne suppose pas que f soit bijective. Cependant, si f est bijective, f −1 (B) représente l’image réciproque de B par f mais aussi l’image directe de B par f −1 (ces deux ensembles sont identiques) • Si A ∈ P (E), f (A) ⊂ F Si B ∈ P (F), f −1 (B) ⊂ E. Exemple : Soit f : R → R x 7→ |x| . Déterminer f ([−2, 3]) et f −1 ([−2, 3]) Montrons que f ([−2, 3]) = [0, 3] : • Soit y ∈ f ([−2, 3]), alors il existe x ∈ [−2, 3] tel que y = |x|.

Or : • si x ∈ [−2, 0] alors |x| ∈ [0, 2] • si x ∈ [0, 3] alors |x| ∈ [0, 3]. Ainsi, dans tous le cas |x| ∈ [0, 3]. D’où, y ∈ [0, 3]. Donc f ([−1, 3]) ⊂ [0, 3] • Soit y ∈ [0, 3], posons x = y. Alors, x ∈ [0, 3] donc x ∈ [−2, 3] et f (x) = |x| = x = y. Donc y ∈ f ([−2, 3]). Ainsi, [0, 3] ⊂ f ([−2, 3]). Donc f ([−1, 2]) = [0, 3]. Montrons que f −1 ([−2, 3]) = [−3, 3] : • Soit x ∈ f −1 ([−2, 3]).

Alors f (x) ∈ [−2, 3] donc |x| ∈ [−2, 3].

Donc |x| ∈ [0, 3].

Ainsi, x ∈ [−3, 3]. D’où, f −1 ([−2, 3]) ⊂ [−3, 3] • Soit x ∈ [−3, 3] alors |x| ∈ [0, 3].

D’où f (x) ∈ [0, 3] Donc f (x) ∈ [−2, 3].

Ainsi, x ∈ f −1 ([−2, 3]). Donc, [−3, 3] ⊂ f −1 ([−2, 3]). Finalement, f −1 (| −2, 3]) = [−3, 3]. 24 2.2.4 Injections, surjections et bijections Soit f : E → F, on dit que f est : • injective (ou est une injection) si tout élément de F admet au plus un antécédent par f dans E, c’est à dire lorsque : ∀(x,x 0 ) ∈ E 2 , f (x) = f (x 0 ) =⇒ x = x 0 . • surjective (ou est une surjection) si tout élément de F admet au moins un antécédent par f dans E, c’est à dire lorsque : ∀y ∈ F, ∃x ∈ E, y = f (x). • bijective (ou est une bijection) si tout élément de F admet un unique antécédent par f dans E, c’est à dire lorsque : ∀y ∈ F, ∃!x ∈ E, y = f (x) Définition (e) Application injective (f ) Application surjective (g) Application bijective Exemple : Soit f1 : R → R x 7→ x 2 , f2 : R+ → R x 7→ x 2 , f3 : R → R+ x 7→ x 2 et f4 : R+ → R+ x 7→ x 2 . Les fonctions f1, f2, f3 et f4 sont-elles injectives, surjectives ou bijectives ? • • f1 n’est pas injective : f1(1) = f1(−1) donc 1 admet deux antécédents distincts. • f1 n’est pas surjective : −3 n’admet aucun antécédent. • f1 n’est donc pas bijective. • • f2 est injective : soient x, y ∈ R+, supposons que f2(x) = f2(y).

Alors x 2 = y 2 .

D’où p x 2 = p y 2 .

Donc |x| = |y|.

Or, x, y ≥ 0 donc x = y. • f2 n’est pas surjective : −3 n’admet aucun antécédent. • f2 n’est donc pas bijective. • • f3 n’est pas injective : f3(1) = f3(−1) donc 1 admet deux antécédents distincts. • f3 est surjective : Soit y ∈ R+.

Posons x = p y.

On a bien x ∈ R et f3(x) = f3( p y) = ( p y) 2 = y. • f3 n’est donc pas bijective. • • f4 est injective : soient x, y ∈ R+, supposons que f4(x) = f4(y).

Alors x 2 = y 2 .

D’où p x 2 = p y 2 .

Donc |x| = |y|.

Or, x, y ≥ 0 donc x = y. • f4 est surjective : Soit y ∈ R+.

Posons x = p y.

On a bien x ∈ R et f4(x) = f4( p y) = ( p y) 2 = y. • f4 est donc bijective. Remarque : Le changement des ensembles de départ et d’arrivée d’une application modifie ses propriétés (injectivité, surjectivité, ...) Soit f ∈ F(E,F).

On a l’équivalence : f bijective si et seulement si f est injective et surjective. Proposition 25 Pour montrer qu’une application est : • injective, le modèle de rédaction est : Soit (x, y) ∈ E 2 . Supposons f (x) = f (y) ... Donc x = y. Ainsi f est injective. • surjective, le modèle de rédaction est : Soit y ∈ F. Posons x = ·. Alors x ∈ E (car ...

) et y = f (x) (car ...

). Ainsi, f est surjective. • bijective, on pourra raisonner en deux étapes en montrant l’injectivité et la surjectivité. Méthode : Soient f : E → F et g : F →G. • Si f et g sont injectives, alors g ◦ f est injective. • Si f et g sont surjectives, alors g ◦ f est surjective. • Si f et g sont bijectives, alors g ◦ f est bijective. Proposition Démonstration.

• Supposons f et g injective.

Soit (x,x 0 ) ∈ E 2 .

Supposons (g ◦ f )(x) = (g ◦ f )(x 0 ).

Alors, g (f (x)) = g (f (x 0 )) donc f (x) = f (x 0 ) (car g est injective) puis x = x 0 (car f est injective).

Ainsi, g ◦ f est injective. • Soit z ∈ G.

Comme g est surjective, il existe y ∈ F tel que g (y) = z.

Comme f est surjective, il existe x ∈ E tel que y = f (x). Ainsi z = g (y) = g (f (x)) = (g ◦ f )(x) et g ◦ f est surjective. • Supposons f et g bijective.

Alors f et g sont injectives et surjectives.

Ainsi, g ◦ f est injective par le premier point, surjective par le second, donc bijective. Soit f : E → F une application bijective, on appelle réciproque de f et on note f −1 l’application de F dans E qui à tout élément y ∈ F associe son unique antécédent par f .

Par définition, on a : ∀(x, y) ∈ E ×F, y = f (x) ⇐⇒ x = f −1 (y). Définition Remarque :BOn ne peut considérer f −1 que si f est bijective! Voici la représentation d’une application bijective et de sa bijection réciproque : (h) Représentation de f (i) Représentation de f −1 Soit f : E → F une application bijective.

Alors : f ◦ f −1 = I dF et f −1 ◦ f = I dE . Proposition 26 Démonstration.

f ◦ f −1 et I dF ont même ensemble de départ F, même ensemble d’arrivée F. Soit y ∈ F, f −1 (y) est par définition l’antécédent de y par f , ainsi (f ◦ f −1 )(y) = y . Donc : f ◦ f −1 = I dF . f −1 ◦ f et I dE ont même ensemble de départ E, même ensemble d’arrivée F. Soit x ∈ E, f (x) admet par f un unique antécédente qui est x.

Ainsi, (f −1 ◦ f )(x) = x. Donc, f −1 ◦ f = I dE Soit f : E → F.

On a l’équivalence : f est bijective de E dans F ⇐⇒ ∃g ∈ F(F,E),½ g ◦ f = I dE f ◦ g = I dF Dans ce cas, l’application g est unique et g = f −1 . Proposition : Caractérisation de la bijection réciproque Démonstration.

• Supposons f est bijective alors f −1 convient d’après la proposition précédente. • Réciproquement, supposons qu’il existe g : F → E telle que g ◦ f = I dE et f ◦ g = I dF . Montrons que f est injective. Soit (x,x 0 ) ∈ E, supposons f (x) = f (x 0 ).

Alors, g (f (x)) = g (f (x 0 )) d’où x = x 0 . Ainsi, f est injective. Montrons que f est surjective. Soit y ∈ F.

On a f (g (y)) = y et g (y) ∈ E. Ainsi, f est surjective. f est donc bijective. f −1 = f −1 ◦ I dF = f −1 ◦ (f ◦ g ) = (f −1 ◦ f ) ◦ g = I dE ◦ g = g . Donc g est unique et g = f −1 . Exemple : Les fonctions carrée ½ f : R+ → R+ x 7→ x 2 et racine carrée ½ g : R+ → R+ x 7→ p x sont bijectives et réciproques l’une de l’autre.

En effet : ∀ x ∈ R+, (f ◦ g )(x) = ( p x) 2 = x et ∀ x ∈ R+, (g ◦ f )(x) = p x 2 = x. • Si f : E → F est bijective, alors f −1 : F → E est bijective et (f −1 ) −1 = f . • Si f : E → F et g : F →G sont bijectives, alors g ◦ f : E →G est une bijective et (g ◦ f ) −1 = f −1 ◦ g −1 . Corollaire Démonstration.

• On a f ◦ f −1 = I dF et f −1 ◦ f = I dE donc f −1 : F → E est bijective et (f −1 ) −1 = f . • On a (f −1 ◦ g −1 ) ◦ (g ◦ f ) = f −1 ◦ (g −1 ◦ g ) ◦ f = f −1 ◦ I dF ◦ f = f −1 ◦ f = I dE , et de même (g ◦ f ) ◦ (f −1 ◦ g −1 ) = I dG . Ainsi g ◦ f et f −1 ◦ g −1 sont bijectives, réciproques l’une de l’autre. 2.3 Relation d’équivalence Dans toute cette partie E désigne un ensemble quelconque. On appelle relation binaire R sur E, la donnée d’une partie P de E × E.

On dit que x en relation avec y et on note xR y ssi (x, y) ∈ P . Définition Exemple : • Dans R, on a rencontré les relations binaire : ≤, =, ≡ [2π] • Dans P (E), on a rencontré l’inclusion ⊂. 27 On dit qu’une relation binaire R sur E est une relation d’équivalence sur E si : • R est réflexive : ∀x ∈ E, xRx. • R est symétrique : ∀(x, y) ∈ E 2 , xRy =⇒ yRx. • R est transitive : ∀(x, y, z) ∈ E 3 , (xRy et yRz) =⇒ xRz. Définition Exemple : • L’égalité = est une relation d’équivalence sur tout ensemble E. En général, l’appartenance ∈ ou l’inclusion ⊂ ne sont pas des relations d’équivalence (non symétriques). • La congruence (≡ [2π]) est une relation d’équivalence sur R. Rappel : Pour tout x, y ∈ R, on dit que x ≡ y [2π] s’il existe k ∈ Z tel que x = y +2kπ. Soit x ∈ R, x = x +0×2π, donc x ≡ x [2π], donc ≡ [2π] est réflexive. Soient (x, y) ∈ R 2 tels que x ≡ y [2π].

Alors il existe k ∈ Z tel que x = y +2kπ d’où y = x −2kπ = x +2(−k)π avec −k ∈ Z, donc y ≡ x [2π] et ≡ [2π] est symétrique. Soient (x, y, z) ∈ R 3 tels que x ≡ y [2π] et y ≡ z [2π].

Alors, il existe (k,l) ∈ Z 2 tel que x = y + 2kπ et y = z + 2lπ.

Alors x = y +2kπ = z +2(k +l)π, avec k +l ∈ Z, donc x ≡ z [2π] et ≡ [2π] est transitive. En conclusion, la congruence modulo 2π (≡ [2π]) est bien une relation d’équivalence sur R. Soit R une relation d’équivalence sur E et x ∈ E.

On appelle classe d’équivalence de x pour la relation R et on note c lR(x), l’ensemble constitué des éléments y ∈ E en relation avec x.

Autrement dit : c lR(x) = {y ∈ E, yRx}. Si y ∈ c lR x, on dit que y est un représentant de c lR x. Définition Exemple : • Pour la relation d’égalité =, la classe d’équivalence de x est {x}. • Pour la relation de congruence ≡ [2π] sur R, la classe d’équivalence de x est {x +2kπ,k ∈ Z}. 28 Chapitre 3 Nombres réels 3.1 Nombres entiers, décimaux et rationnels • On appelle ensemble des entiers naturels, l’ensemble N = {0; 1; 2;...} • On appelle ensemble des entiers relatifs l’ensemble Z constitué des entiers naturels et de leurs opposés. • On appelle nombre décimal tout nombre de la forme p 10n , avec p ∈ Z et n ∈ N.

On note D l’ensemble des nombres décimaux. • On appelle nombre rationnel tout quotient d’entiers relatifs, c’est-à-dire tout nombre de la forme p q , avec p ∈ Z et q ∈ N ∗ .

On note Q l’ensemble des nombres rationnels. Un nombre réel qui n’est pas rationnel est dit irrationnel. Définition Remarque : • On a N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q.

Chacune des inclusions étant strictes. • Les inclusions sont strictes.

Un nombre rationnel n’est pas forcément décimal : 1 3 par exemple ne peut s’écrire sous la forme p 10n .

Si c’était le cas, on aurait 3p = 10n , donc 3 divise 10n ...

absurde! 3.2 Nombres réels Habituellement, l’ensemble des nombres réels, noté R se représente géométriquement à l’aide d’un axe D, appelé droite numérique, muni d’une origine 0 et dirigé par un vecteur unitaire −→i .

Ainsi, pour tout réel x, il existe un unique point M de D tel que −−→OM = x −→i . Rappel : R est muni d’une relation de comparaison ≤ qui est dite relation d’ordre total. Soit A une partie de R.

On dit que : • M ∈ R est un majorant de A si : ∀a ∈ A, a ≤ M. • m ∈ R un minorant de A si : ∀a ∈ A, m ≤ a. • M ∈ R est le plus grand élément de A (ou maximum) si : M ∈ A et M est un majorant de A.

Un tel élément est unique, noté M = max(A). • m ∈ R est le plus petit élément de A (ou minimum) si : m ∈ A et m est un minorant de A.

Un tel élément est unique, noté m = min(A). Définition 3.2.1 Borne supérieure, borne inférieure Soit A une partie de R. • On appelle borne supérieure de A le plus petit, s’il existe, des majorants de A.

Elle est alors unique et on le note sup(A) . • On appelle borne inférieure de A le plus grand, s’il existe, des minorants de A.

Elle est alors unique et on le note inf(A) . Définition 29 Remarque : • L’unicité de la borne supérieure (resp.

inférieure), lorsqu’elle existe, est une conséquence de l’unicité du plus petit (resp.

plus grand) élément d’un ensemble. • BContrairement au plus petit élément ou au plus grand élément, la borne inférieure ou supérieure d’un ensemble n’appartient pas nécessairement à l’ensemble! • Une partie peut admettre une borne supérieure sans avoir de plus grand élément. Inversement, si A possède un plus grand élément, alors A admet une borne supérieure et on a : max(A) = sup(A).

En effet : Supposons que A admette un maximum M. • M est un majorant de A; • si M0 est un majorant de A, alors pour tout b ∈ A, b ≤ M0 .

Comme M ∈ A, on a M ≤ M0 . Donc A admet une borne supérieure et sup(A) = a. De même, si A possède un plus petit élément (i.e un minimum), on a : min A = inf A. Exemple : Compléter : min(A) inf(A) max(A) sup(A) A = {1} 1 1 1 1 A = {2, 4} 2 2 4 4 A =]1, 5[ × 1 × 5 A = [−5, 0[ -5 -5 × 0 A = {1/n|n ∈ N ∗ } × 0 1 1 .

Direct .

Direct .

L’ensemble des majorants de ]−1, 5[ est [5,+∞[.

Cet ensemble admet un plus petit élément 5 donc ]−1, 5[ admet une borne supérieure 5. De plus, si A admet un plus grand élément M.

Alors, M ∈] − 1, 5[ et :∀a ∈ A, a < M.

Or, −1 < M < M +5 2 < 5 donc M +5 2 ∈ A et M < M +5 2 .

Absurde. Ainsi, A n’admet pas de plus grand élément. On procède de même pour la borne inférieure. Toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure. Toute partie non vide et minorée de R admet une borne inférieure. Théorème Propriété de la borne supérieure Soient A une partie non vide et majorée de R et s ∈ R. s = sup(A) ⇔ ½ s est un majorant de A : ∀x ∈ A, x ≤ s pour tout M majorant de A,s ≤ M ⇔ ½ s est un majorant de A : ∀x ∈ A, x ≤ s pour tout b < s,b n’est pas un majorant de A ⇔ ½ s est un majorant de A : ∀x ∈ A, x ≤ s ∀² > 0, ∃x ∈ A tel que s −² < x Théorème Caractérisation de la borne supérieure Démonstration.

• Supposons que s = sup(A). Alors s est un majorant de A. Soit ² > 0, comme s −² < s, s −² ne majore pas A (sinon on aurait s −² ≥ s car s est le plus petit des majorants de A).

Ainsi, il existe x ∈ A tel que s −² < x. • Réciproquement, supposons que s majore A et que : ∀² > 0, ∃x ∈ A tel que s −² < x. Soit M un majorant de A. Par l’absurde, supposons s > M.

Posons ² = s −M.

On a ² > 0.

Ainsi, par hypothèse, il existe x ∈ A tel que s −² < x donc M < x. Absurde car M majore A! Ainsi s ≤ M. s est donc le plus petit des majorants de A, donc s = sup(A). 30 Soit B une partie minorée non vide et i ∈ R. i = inf(B) ⇔ ½ i est un minorant de B : ∀x ∈ B, x ≥ i pour tout m minorant de B,m ≤ i ⇔ ½ i est un minorant de B : ∀x ∈ B, x ≥ i pour tout a > i,a n’est pas un minorant de B ⇔ ½ i est un minorant de B : ∀x ∈ B, x ≥ i ∀² > 0, ∃x ∈ B tel que x < i +² Théorème Caractérisation de la borne inférieure Démonstration.

Preuve similaire à celle précédente. Ï Pour montrer qu’une partie de R admet une borne sup (resp.

inf ), on montrera qu’elle est non vide et majorée (resp.

minorée). Ï Pour montrer qu’un réel s = sup(A) (resp.

i = inf(A)), il faut montrer que : • s est un majorant de A (resp.

i est un minorant de A). • s est le plus petit des majorants de A (resp.

i est le plus grand des minorants). Méthode : Exemple : Soient A et B deux parties majorées non vides de R.

On note A +B = {a +b ; (a,b) ∈ A ×B}. A et B sont des parties non vides de R donc admettent des bornes supérieures. Ï Montrons que A +B admet une borne sup. Comme A et B sont non vides, A +B est non vide. Soit x ∈ A+B, il existe (a,b) ∈ A×B tels que x = a+b.

De plus, a ≤ sup(A) et b ≤ sup(B) donc x ≤ sup(A)+sup(B).

Ainsi : ∀x ∈ A +B, x ≤ sup(A)+sup(B). Donc A +B est majorée par sup(A)+sup(B), donc admet une borne supérieure. Ï Montrons que sup(A +B) = sup A +supB. • On a vu que sup(A)+sup(B) est un majorant de A +B. • Montrons que c’est le plus petit des majorants de A +B : Soit ² > 0.

Par caractérisation de la borne supérieure, il existe x ∈ A tel que sup(A)− ² 2 < x et il existe y ∈ B tel que sup(B)− ² 2 < y.

Alors ¡ sup(A)+sup(B) ¢ −² < x + y, avec x + y ∈ A +B.

Par caractérisation de la borne supérieure, on obtient sup(A +B) = sup(A)+sup(B) (on a déjà montré que sup(A)+sup(B) majore A +B.) Soit A une partie non vide et majorée de R.

Soit x ∈ R. Pour montrer que : • x ≤ sup(A), on essaie généralement de prouver que x ∈ A. • Pour prouver que sup(A) ≤ x.

On essaie généralement de prouver que x majore A donc est supérieur au plus petit des majorants. Méthode : (Voir exercice 8 du TD) 31 3.2.2 Caractérisation des intervalles de R On appelle intervalle de R toute partie de R ayant l’une des formes suivantes : • [a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} avec (a,b) ∈ R 2 et a ≤ b (intervalle fermé et borné ou segment); • [a,+∞[= {x ∈ R | a ≤ x} avec a ∈ R (intervalle fermé non-majoré); • ]−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b} avec b ∈ R (intervalle fermé non-minoré); • ]a,b[= {x ∈ R | a < x < b} avec (a,b) ∈ R 2 et a < b (intervalle borné ouvert); • ]−∞,b[= {x ∈ R | x < b} avec b ∈ R (intervalle ouvert non-minoré); • ]a,+∞[= {x ∈ R | a < x} avec a ∈ R (intervalle ouvert non-majoré); • [a,b[= {x ∈ R | a ≤ x < b} avec (a,b) ∈ R 2 et a < b (intervalle borné semi-ouvert à droite); • ]a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} avec (a,b) ∈ R 2 et a < b (intervalle borné semi-ouvert à gauche); • l’ensemble vide ; • R =]−∞,+∞[ (intervalle non-majoré et non-minoré) Définition : Intervalles de R Soit I une partie de R.

Alors : I est un intervalle si et seulement si pour tout (a,b) ∈ I 2 , [a,b] ⊂ I Proposition Caractérisation des intervalles Démonstration.

.

Soit c, d ∈ R avec c ≤ d.

Posons I = [c,d]. Soit a, b ∈ [c,d] tels que a ≤ b.

Soit x ∈ [a,b], on a : c ≤ a ≤ x ≤ b ≤ d donc x ∈ [c,d].

D’où [a,b] ⊂ [c,d]. On procède de même pour les types d’intervalles. .

Soit I une partie de R telle que : ∀(α,β) ∈ I 2 , [α,β] ⊂ I. • Si I = ;, I est un intervalle. • Supposons désormais I 6= ;.

Soit a ∈ I. • Si I est majorée alors I ∩ [a,+∞[ est majorée car I ∩ [a,+∞[⊂ I donc I ∩ [a,+∞[ est une partie non vide (a ∈ I ∩[a,+∞[) et majorée donc admet une borne supérieure que l’on note b. • Montrons que [a,b[⊂ I ∩[a,+∞[ si a < b. Soit x ∈ [a,b[ alors x n’est pas un majorant car b est le plus petit des majorants.

Ainsi, il existe z ∈ I ∩ [a,+∞[ tel que x < z. On a alors (a, z) ∈ I 2 donc [a, z] ⊂ I. Or, x ∈ [a, z] donc x ∈ I.

De plus, x ∈ [a,+∞[ donc x ∈ I ∩[a,+∞[. Ainsi, x ∈ I ∩[a,+∞[. • Montrons que I ∩[a,+∞[⊂ [a,b]. Comme b = sup(I ∩[a,+∞[), on a : ∀x ∈ I ∩[a,+∞[, x ≤ b. De plus : ∀x ∈ I ∩[a,+∞[, x ∈ [a,+∞[.

Donc : ∀x ∈ I ∩[a,+∞[, x ∈ [a,b]. Ainsi I ∩[a,+∞[= [a,b[ ou I ∩[a,+∞[= [a,b[. • Si I est non majorée alors I ∩[a,+∞[ est non-majorée. • On sait déjà que I ∩[a,+∞[⊂ [a,+∞[. • Soit x ∈ [a,+∞[.

x n’est pas un majorant de I ∩[a,+∞[ donc il existe y ∈ I ∩[a,+∞[ tel que x < y. Or, (a, y) ∈ I 2 donc [a, y] ⊂ I.

Or, x ∈ [a, y] donc x ∈ I. D’où x ∈ I ∩[a,+∞[. Ainsi, I ∩[a,+∞[= [a,+∞[. 32 • De la même manière, si I est minorée alors I∩]−∞,a] est non vide (a ∈ I∩]−∞,a]) et minorée donc admet une borne inférieure que l’on note c.

On a : • ]c,a] ⊂ I∩]−∞,a] (si c < a). • I∩]−∞,a] ⊂ [c,a] donc I∩]−∞,a] = [c,a] ou I∩]−∞,a] =]c,a] • si I est non-minorée alors I∩]−∞,a] =]−∞,a]. • Au final, comme I = (I∩]−∞,a])∪(I ∩[a,+∞[).

On a : • Si I est borné (majoré et minoré) alors (en gardant les notations précédentes), on a : I = [c,a]∪[a,b] = [c,b] ou I =]c,a]∪[a,b] =]c,b] ou I = [c,a]∪[a,b[= [c,b[ ou I =]c,a]∪[a,b[=]c,b[ • Si I est majorée non-minorée, on a : I =]−∞,a]∪[a,b] =]−∞,b] ou I =]−∞,a]∪[a,b[=]−∞,b[ • Si I est minorée non-majorée , on a : I = [c,a]∪[a,+∞[= [c,+∞[ ou I =]c,a]∪[a,+∞[= []c,+∞[ • Si I est non-minorée et non-majorée , on a : I =]−∞,a]∪[a,+∞[=]−∞,+∞[= R 3.2.3 Partie entière Soit x ∈ R. On appelle partie entière de x le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x.

On le note bxc. Définition Soit x ∈ R, soit n ∈ Z. n = bxc ⇐⇒ n ≤ x < n +1. Proposition Démonstration.

• Si bxc = n alors n ≤ x.

De plus, n +1 > n donc n +1 > x. • Si n ≤ x < n +1 alors n ≤ x. De plus, soit p ∈ Z tel que p ≤ x alors p < n +1 donc p ≤ n car p,n ∈ Z. Ainsi, n est le plus grand entier inférieur ou égal à x donc n = bxc. Exemple : b1.2c = 1, b5c = 5, b−2c = −2, bπc = 3Bb−2.3c = −3 , b−πc = −4 La fonction définie sur R qui x 7→ bxc est croissante. Proposition Démonstration.

soient x, y ∈ R.

Supposons x ≤ y.

D’après la caractérisation de la partie entière, on a : [x] ≤ x < [x] + 1 et [y] ≤ y < [y]+1, donc [x] ≤ x ≤ y < [y]+1.

Ainsi, [x] < [y]+1 et comme ce sont des entiers, [x] ≤ [y]. 33 Remarque : Pour montrer une inégalité faisant intervenir des parties entières, on utilise les inégalités de définitions des parties entières, et, lorsqu’on est ramené à des inégalités strictes entre entiers, on peut enlever 1 au membre le plus grand en transformant le strict en large. x f (x) bxc ∀n ∈ Z, ∀x ∈ R, bx +nc = bxc +n Proposition Démonstration.

Soit n ∈ Z, soit x ∈ R. Par caractérisation de la partie entière, on a : bxc ≤ x < bxc +1 Ainsi : bxc+n ≤ x +n < bxc+n +1 avec bxc+n ∈ Z.

Ainsi, toujours par caractérisation de la partie entière, bx +nc = bxc+n. Remarque : bx + yc = bxc + byc n’est pas vrai pour tout x, y ∈ R. Contre-exemple : x = 0.3, y = 0.8, on a b1.1c = 1 alors que b0.7c + b0.3c = 0. De même, l’égalité suivante bnxc = nbxc n’est pas vrai dans le cas général : Contre-exemple : x = 0.7 et n = 2, on a b1.4c = 1 alors que 2b0.7c = 0. 3.2.4 Approximations décimales Soit x ∈ R et n ∈ N.

On a : b10n xc ≤ 10n x ≤ b10n xc +1 donc b10n xc 10n ≤ x ≤ b10n xc +1 10n . Soient x ∈ R et n ∈ N. Le nombre décimal b10n xc 10n est appelé approximation décimale par défaut de x à la précision 10−n . Le nombre b10n xc +1 10n est appelé approximation décimale par excès de x à la précision 10−n . Définition Exemple : 1, 414 ≤ p 2 < 1, 415 à 10−3 près, 3, 1415 ≤ π < 3, 1416 à 10−4 près. Remarque : Soit x ∈ R.

Pour tout n ∈ N, notons un = b10n xc 10n .

On a alors 0 ≤ x − un ≤ 10−n pour tout n ∈ N.

Par théorème de convergence par encadrement lim n→+∞ (x −un) = 0 donc lim n→+∞ un = x.

On a ainsi obtenu une suite (un) de nombres décimaux (et donc de rationnels) qui tend vers x ∈ R. 34 Chapitre 4 Nombres complexes 4.1 Ensemble des nombres complexes 4.1.1 Définition • On appelle ensemble des nombres complexes et on note C l’ensemble des nombres qui s’écrivent sous la forme z = a +i b où (a,b) ∈ R 2 et i 2 = −1. • Plus précisément, tout nombre complexe z s’écrit de manière unique sous la forme z = a +i b avec (a,b) ∈ R 2 . Cette écriture est appelée écriture algébrique (ou forme algébrique). • Si z = a +i b avec (a,b) ∈ R 2 , a est appelé partie réelle de z et notée Re(z), b est appelée partie imaginaire de z et notée Im(z). • Si z = a +i b et z 0 = a 0 +i b0 avec a,b,a 0 ,b 0 ∈ R, on définit z + z 0 et z × z 0 par : z + z 0 = (a + a 0 )+i(b +b 0 ) et z × z 0 = (aa0 −bb0 )+i(ab0 + a 0 b) Définition Remarque : • La formule du produit se retrouve en développant (a +i b)(a 0 +i b0 ) et en utilisant la relation i 2 = −1. • Si x ∈ R, on identifie x avec le nombre complexe x +i0.

Ceci permet d’avoir R inclus dans C.

L’addition est la multiplication sur C prolongent l’addition et la multiplication usuelles sur R.

Elles vérifient donc les même propriétés : • associativité : ∀z, z 0 , z 00 ∈ C, (z + z 0 )+ z 00 = z +(z 0 + z 00) et (z × z 0 )× z 00 = z × z 0 × z 00) • commutativité : z + z 0 = z 0 + z et z × z 0 = z 0 × z • la multiplication est distributive sur l’addition : z ×(z 0 + z 00) = z × z 0 + z × z 00 • Si y ∈ R, on note simplement i y le nombre complexe 0+i y, appelé imaginaire pur.

On note iR l’ensemble des imaginaires purs. • BRe(z + z 0 ) = Re(z)+Re(z 0 ) mais en général, Re(zz0 ) 6= Re(z)×Re(z 0 ). De même pour la partie imaginaire. • C n’est usuellement muni d’aucune relation d’ordre.

Nous ne pouvons donc pas dire qu’un complexe est plus grand qu’un autre ou qu’il est positif. Soient z, z 0 ∈ C.

On a : z = z 0 ⇐⇒ ½ Re(z) = Re(z 0 ) Im(z) = Im(z 0 ) Proposition 35 On munit le plan usuel P d’un repère orthonormé direct (O, −→i , −→j ). A tout point M de P de coordonnées (x, y) (resp.

à tout vecteur −→u tel que −→u = x −→i + y −→j ) avec (x, y) ∈ R 2 , on associe le nombre complexe z = x +i y et réciproquement.

On dit que z est l’affixe de M (resp.

−→u ) et M (resp.

−→u ) est appelé image de z.

On note M(z) (resp.

(−→u (z)) pour exprimer que z est l’affixe de M (resp.

−→u ). Définition : Interprétation géométrique des nombres complexes −→ x i y −→j 0 M(z) Re(z) Im(z) Remarque : - L’application ½ C → P z 7→ M(z) est une bijection.

En effet, à tout point M du plan P d’affixe z correspond un unique nombre complexe z son affixe. On identifie ainsi C au plan usuel, muni d’un repère orthonormé direct. - Si A et B sont deux points du plan d’affixes a et b, alors l’affixe du vecteur −→AB est b − a. Soit z ∈ C.

Soit λ ∈ R, on a : Re(λz) = λRe(z); Im(λz) = λIm(z) Re(i z) = −Im(z); Im(i z) = Re(z); Proposition Démonstration.

Soit λ ∈ R.

Posons z = a +i b avec a,b ∈ R. On a : λ(a +i b) = λa +iλb, i(λa +i b) = −b +i a. 4.1.2 Conjugaison Soit z = a +i b ∈ C avec (a,b) ∈ R 2 .

On appelle conjugué de z, et on note z le nombre complexe a −i b. Définition Soient z, z1, z2 ∈ C, on a : • z = z. • z1 + z2 = z1 + z2 , z1 × z2 = z1 × z2. Si z2 6= 0, µ z1 z2 ¶ = z1 z2 . On dit que la conjugaison est compatible avec l’addition, la multiplication et le quotient. •    Re(z) = z + z 2 Im(z) = z − z 2i Proposition Démonstration.

Posons z = a +i b avec a,b ∈ R.

Posons z1 = a1 +i b1 et z2 = a2 +i b2 avec a1,a2,b1,b2 ∈ R. • z = a +i b = a −i b = a +i b = z. • z1 + z2 = (a1 +i b1)+(a2 +i b2) = (a1 + a2)+i(b1 +b2) = a1 + a2 −i(b1 +b2) = a1 −i b1 + a2 −i b2 = z1 +i z2. 36 • z1 × z2 = (a1 +i b1)×(a2 +i b2) = (a1a2 −b1b2)+i(a1b2 + a2b1) = a1a2 −b1b2 −i(a1b2 + a2b1. Or, z1 × z2 = (a1 +i b1)×(a2 +i b2) = (a1 −i b1)(a2 −i b2) = a1a2 −b1b2 −i(a2b1 + a1b2) = z1 × z2. • Si z2 6= 0 alors, z2 6= 0.

On a alors : 1 = z2 × 1 z2 = z2 × 1 z2 d’où 1 z2 = 1 z2 . Puis, z1 z2 = z1 × 1 z2 = z1 × 1 z2 = z1 × 1 z2 = z1 z2 . • On a z = Re(z)+iIm(z) et z = Re(z)−iIm(z).

En faisant la somme et la différence, on obtient le résultat voulu. Soit z ∈ C.

Alors : • z ∈ R si et seulement si z = z • z ∈ iR si et seulement si z = −z Corollaire Démonstration.

Soit z ∈ C, z ∈ R ⇐⇒ Im(z) = 0 ⇐⇒ z − z 2i = 0 ⇐⇒ z − z = 0 ⇐⇒ z = z 4.1.3 Module On appelle module du nombre complexe z = a+i b avec (a,b) ∈ R 2 et on note |z| le réel positif (ou nul) défini par |z| = p a 2 +b 2 . Définition Remarque : La notion de module prolonge celle de valeur absolue, c’est à dire que le module d’un nombre réel est égal à sa valeur absolue. Pour tout z ∈ C, on a |z| 2 = zz. Proposition Démonstration.

Soit z = a +i b ∈ C, avec (a,b) ∈ R 2 .

Alors zz = (a +i b)(a −i b) = a 2 +b 2 = |z| 2 . Soit z, z1, z2 ∈ C, on a : • |z| = 0 ⇐⇒ z = 0 • |z| = |z|. • |Re(z)| ≤ |z| et |Im(z)| ≤ |z|. • |z1z2| = |z1| ×|z2| si z2 6= 0, ¯ ¯ ¯ z1 z2 ¯ ¯ ¯ = |z1| |z2| On dit que le module est compatible avec le produit et le quotient. Ble module n’est pas compatible avec la somme. Proposition Démonstration.

Soit z = a +i b ∈ C avec (a,b) ∈ R 2 . 37 • |z| = 0 ⇐⇒ |z| 2 = 0 ⇐⇒ a 2 +b 2 = 0 ⇐⇒ a 2 = 0 et b 2 = 0 ⇐⇒ a = 0 et b = 0 ⇐⇒ z = 0 • |z| = |a −i b| = p a 2 +b 2 = |a +i b| = |z|. • |Re(z)| = |a| = p a 2 ≤ p a 2 +b 2 = |z|.

On procède de même pour la partie imaginaire. • |z1z2| 2 = z1z2z1z2 = z1z2z1z2 par compatibilité de la conjugaison avec la multiplication. Ainsi, |z1z2| 2 = z1z1z2z2 = |z1| 2 |z2| 2 .

Or, |z1z2|,|z1| et |z2| sont des réels positif d’où |z1z2| = |z1||z2|. • Si z2 6= 0 alors, on a : 1 = ¯ ¯ ¯ ¯ z2 × 1 z2 ¯ ¯ ¯ ¯ = |z2| × ¯ ¯ ¯ ¯ 1 z2 ¯ ¯ ¯ ¯ .

Comme z2 6= 0, on a |z2 6= 0 d’où ¯ ¯ ¯ ¯ 1 z2 ¯ ¯ ¯ ¯ = 1 |z2| . Enfin, ¯ ¯ ¯ ¯ z1 z2 ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ z1 × 1 z2 ¯ ¯ ¯ ¯ = |z1| × ¯ ¯ ¯ ¯ 1 z2 ¯ ¯ ¯ ¯ = |z1| |z2| . Pour tout z ∈ C ∗ , on a : 1 z = z |z| 2 . Proposition : Inverse d’un nombre complexe Pour calculer l’expression algébrique de l’inverse d’un nombre complexe z, ou simplifier une expression du type z1 z2 on multipliera toujours en numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur. Méthode Exemple : 4+3i −2+7i = (4+3i)(−2−7i) (−2+7i)(−2−7i) = −8−6i −28i +21 4+49 = 13 53 − 34 53 i. Pour tout z1, z2 ∈ C, on a : |z1 + z2| ≤ |z1| +|z2|, avec égalité si et seulement si z1 = 0 ou s’il existe λ ∈ R+ tel que z2 = λz1 . Proposition : Inégalité triangulaire Remarque : - BComme pour les nombres réels, on n’a pas : |z1 − z2| ≤ |z1| −|z2|! Démonstration.

Soit z1, z2 ∈ C. • Avec une proposition précédente, on a : |z1 + z2| 2 = (z1 + z2)(z1 + z2) = z1z1 + z1z2 + z2z1 + z2z2 = |z1| 2 + z1z2 + z1z2 +|z2| 2 = |z1| 2 +2Re(z1z2)+|z2| 2 ≤ |z1| 2 +2|Re(z1z2)| +|z2| 2 ≤ |z1| 2 +2|z1z2| +|z2| 2 ≤ |z1| 2 +2|z1| ×|z2| +|z2| 2 ≤ |z1| 2 +2|z1| ×|z2| +|z2| 2 ≤ (|z1| +|z2|) 2 . Comme |z1 + z2|, |z1| +|z2| sont des réels positifs, on obtient : |z1 + z2| ≤ |z1| +|z2|. 38 • Supposons que |z1 + z2| = |z1| +|z2|. On a donc égalité dans toutes les inégalités précédentes.

Donc : Re(z1z2) = |Re(z1z2)| = |z1z2|. On a donc Re(z1z2) 2 = |z1z2| 2 = Re(z1z2) 2 +Im(z1z2) 2 donc Im(z1z2) = 0.

Ainsi, le nombre z1z2 est un réel. D’où z1z2 = Re(z1z2) = |Re(z1z2)|.

Ainsi, z1z2 ∈ R+. Notons α ce réel positif. On a alors : z2z1 = z1z2 = α = α. Si z1 6= 0, alors z2 = z2 z1z1 |z1| 2 = α |z1| 2 z1, donc en posant λ = α |z1| 2 , on a λ ∈ R+ et z2 = λz1. Réciproquement, • si z1 = 0, on a l’égalité • si il existe λ ∈ R+ tel que z2 = λz1, on a : |z1 + z2| = |(1+λ)z1| = (1+λ)|z1| car 1+λ ∈ R+ Et |z1| +|z2| = |z1| +|λz1| = |z1| +|λ||z1| = (1+λ)|z1| car λ ∈ R+ donc on a égalité. Pour tout z1, z2 ∈ C, ||z1| −|z2|| ≤ |z1 − z2|. Corollaire Démonstration.

Soient z1, z2 ∈ C.

On a : ||z1| −|z2|| ≤ |z1 − z2| ⇐⇒ −|z1 − z2| ≤ |z1| −|z2| ≤ |z1 − z2| Or, par la proposition précédente, on a : |z2| = |z2 − z1 + z1| ≤ |z2 − z1| +|z1| D’où −|z1 − z2| ≤ |z1| −|z2|.

Ainsi, l’inégalité de gauche est vérifiée. Toujours avec la proposition précédente, on a : |z1| = |z1 − z2 + z2| ≤ |z1 − z2| +|z2| D’où |z1| −|z2| ≤ |z1 − z2|.

L’inégalité de droite est donc aussi vérifiée. On a donc le résultat souhaité. Interprétation géométrique du module : Soit z ∈ C. Si M est le point du plan P d’affixe z alors |z| = ||−−→OM|| = OM. De même, si −→u est le vecteur du plan d’affixe z alors |z| = ||−→u || Si A et B sont deux points du plan d’affixes a et b alors |b − a| = ||−→AB|| = AB. L’inégalité triangulaire peut donc s’interpréter de la manière suivante : si z et z 0 représentent les affixes de deux vecteurs −→u et −→u 0 alors : ||−→u + −→u 0 || ≤ ||−→u || +||−→u 0 ||. Le cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire correspond au cas où les vecteurs −→u et −→ u 0 sont colinéaires de même sens. −→ x i y −→j 0 −→u −→u 0 −→u + −→u 0 39 Cercles et disques : Soient ω ∈ C et r ∈ R ∗ +. • L’ensemble des points du plan d’affixe z vérifiant |z −ω| = r est le cercle de centre Ω d’affixe ω et de rayon r . • L’ensemble des points du plan d’affixe z vérifiant |z−ω| < r (resp.

|z−ω| ≤ r ) est le disque ouvert (resp.

fermé) de centre Ω d’affixe ω et de rayon r . disque ouvert (c’est à dire ne contenant pas les points du cercle) contrairement au disque fermé. 4.2 Forme trigonométrique, arguments Soit z ∈ C ∗ . • Il existe r0 ∈ R ∗ + et θ0 ∈ R tels que z = r0e iθ0 . • Soit θ ∈ R, r ∈ R ∗ +. z = r eiθ ⇐⇒ ½ r = r0 = |z| θ ≡ θ0 [2π] Théorème : Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul Démonstration.

• Comme z 6= 0, on a |z| 6= 0, on peut donc poser u = z |z| .

On a alors |u| = 1, donc u ∈ U .

Ainsi, il existe θ0 ∈ R tel que u = e iθ0 .

Ainsi z = |z|e iθ0 ce qui prouve le résultat en posant r0 = |z|. Soit r ∈ R ∗ + et θ ∈ R.

On raisonne par double implication. • Si z = r eiθ alors on a |z| = |r eiθ | = |r ||e iθ | = r car |e iθ | = 1 et r ∈ R+. Ainsi, |z| = r = r0.

On a alors |z|e iθ = z = |z|e iθ0 .

Or, |z| 6= 0 donc e iθ = e iθ0 .

Ainsi, θ ≡ θ0[2π] d’après une proposition précédente. • Réciproquement, si r = r0 = |z| et si θ ≡ θ0 [2π] alors e iθ = e iθ0 donc z = r0e iθ0 = r eiθ . Soit z ∈ C ∗ . • Tout réel θ tel que z = |z|e iθ est appelé un argument de z. • On appelle forme trigonométrique de z toute écriture de la forme : z = |z|e iθ = |z|(cosθ +i sinθ) avec θ ∈ R Définition Remarque : La forme trigonométrique d’un nombre complexe est très pratique pour le calcul de puissances, grâce à la formule de Moivre. Remarque : Un nombre complexe non nul admet toujours une infinité d’arguments.

Plus précisément, si θ0 est un argument de z alors les arguments de z sont les θ0 +2kπ avec k ∈ Z. Soit z ∈ C ∗ .

On appelle argument principal de z et on note arg(z) l’unique argument de z appartenant à ]−π,π]. Définition Soit z ∈ C ∗ , θ ∈ R. θ est un argument de z si et seulement si θ ≡ arg(z) [2π]. Proposition Soit z ∈ C ∗ . Dans la plupart des cas, il suffit d’écrire z |z| et de reconnaitre que cette expression s’écrit aussi sous la forme e iθ . Le réel θ est alors un argument de z. Méthode : détermination d’un argument Exemple : 40 • Déterminer un argument de 1+i. On a 1+i = p 2 ³ p 2 2 +i p 2 2 ´ = p 2e i π 4 .

Ainsi, un argument de 1+i est π 4 . Donner la forme algébrique de à 1+i p 3 1−i !2018 1+i p 3 = 2e i π 3 et 1−i = p 2e −i π 4 . Ainsi, 1+i p 3 1−i = 2e i π 3 p 2e −i π 4 = p 2e 7i π 12 . On a alors : à 1+i p 3 1−i !2018 = ( p 2)2018e 7×2018i π 12 = 2 1009e 7×1009i π 6 = 2 1009e 7063i π 6 . Or, 7063 = 588×12+7 Ainsi, à 1+i p 3 1−i !2018 = 2 1009e (588×12+7)i π 6 = 2 1009e 588×2iπ+7i π 6 = 2 1009e 588×2iπ ×e 7i π 6 . • Déterminer un argument de 1+e i x pour x ∈]−π,π[ et pour x ∈]π, 2π[. Soit x ∈]−π, 2π[, 1+e i x = 2cos¡ x 2 ¢ e i x/2 . • Si x ∈]−π,π[, |1+e i x | = ¯ ¯ ¯2cos³ x 2 ´¯ ¯ ¯ = 2cos³ x 2 ´ car cos¡ x 2 ¢ > 0.

Ainsi, un argument de 1+e i x est x 2 . • Si x ∈]π, 2π[, |1+e i x | = ¯ ¯ ¯2cos³ x 2 ´¯ ¯ ¯ = −2cos³ x 2 ´ car cos¡ x 2 ¢ < 0. Ainsi, 1+e i x = −2cos¡ x 2 ¢ ¡−e i(x/2)¢ = −2cos¡ x 2 ¢ e i(x/2+π) .

Ainsi, un argument de 1+e i x est x 2 +π. Remarque :Bsi z = aeiθ avec a ∈ R ∗ et θ ∈ R alors on a |z| = |a| où |a| désigne la valeur absolue du réel a et donc : • si a > 0, un argument de z est θ. • si a < 0, alors z = −a(−e iθ ) = −aei(θ +π) et un argument de z est θ +π. Soient z, z 0 ∈ C ∗ . z = z 0 ⇐⇒ ½ |z| = |z 0 | arg(z) = arg(z 0 ) Proposition Remarque : Soit z = |z|e iθ et z 0 = |z 0 |e iθ 0 avec θ,θ 0 ∈ R.

On a : z = z 0 ⇐⇒ ½ |z| = |z 0 | θ ≡ θ 0 [2π] Soient z1 ∈ C ∗ et z2 ∈ C ∗ d’arguments respectifs θ1 et θ2.

Soit n ∈ Z.

Alors 1.

z1 est non nul et −θ1 est un argument de z1. 2.

z1z2 est non nul et θ1 +θ2 est un argument de z1 + z2. 3. 1 z2 est non nul et −θ2 est un argument de 1 z2 . 4. z1 z2 est non nul et θ1 −θ2 est un argument de z1 z2 . 5.

z n 1 est non nul et nθ1 est un argument de z n 1 . 6.

−z1 est non nul et θ1 +π est un argument de −z1. Proposition Démonstration.

Comme θ1 est un argument de z1, on a z1 = |z1|e iθ1 .

De même, z2 = |z2|e iθ2 . • z1 = |z1|e iθ1 = |z1|e −iθ1 = |z1|e −iθ1 . • On a : z1z2 = |z1|e iθ1 ×|z2|e iθ2 = |z1||z2|e i(θ1+θ2) = |z1z2|e i(θ1+θ2) . • On a 1 z2 = 1 |z2|e iθ2 = 1 |z2| e −iθ2 = ¯ ¯ ¯ ¯ 1 z2 ¯ ¯ ¯ ¯ e −iθ2 • Comme z1 z2 |z1|e iθ1 |z2|e iθ2 = |z1| |z2| e i(θ1−θ2 = ¯ ¯ ¯ ¯ z1 z2 ¯ ¯ ¯ ¯ e i(θ2−θ1 . Ainsi, θ1 −θ2 est un argument de z1 z2 . • z n 1 = ¡ |z1|e iθ1 ¢n = |z1| n ¡ e iθ1 ¢n = |z n 1 |e inθ1 (par récurrence on a |z1| n = |z n 1 |, la formule de Moivre permet alors de conclure. • −z1 = −|z1|e iθ1 = |z1|e i(θ1+π) = | − z1|e i(θ1+π) . 41 Soit z = a +i b ∈ C ∗ avec (a,b) ∈ R 2 \ {(0, 0)}.

Alors : arg(z) = arctanµ b a ¶ si a > 0 Proposition Calcul d’arguments Remarque : On a : arg(z) =    arctanµ b a ¶ −π si a < 0 et b < 0 arctanµ b a ¶ +π si a < 0 et b > 0 signe(b) π 2 si a = 0 Démonstration.

On a z = |z|e i arg(z) .

Ainsi, z = |z|cos(argz)+i|z|sin(argz) donc a = |z|cos(argz) et b = |z|sin(argz). • Si a 6= 0 alors cos(argz) 6= 0.

Donc tan(argz) = b a = tanµ arctan b a ¶ .

Or, argz ∈]−π,π] et arctan b a ∈ i − π 2 , π 2 h . • si a > 0 alors argz ∈ i − π 2 , π 2 h donc argz = arctan b a . • si a < 0 alors : • si b < 0 alors argz ∈ i −π,− π 2 h .

Donc argz + π ∈ i 0, π 2 h et tan(argz + π) = tan(argz) == tanµ arctan b a ¶ .

Ainsi, argz +π = arctan b a . • si b ≥ 0, alors argz ∈ iπ 2 ,π h .

Donc argz − π ∈ i − π 2 , 0h et tan(argz − π) = tan(argz) == tanµ arctan b a ¶ .

Ainsi, argz −π = arctan b a . • si a = 0 alors z = i b donc arg(z) = signe(b) π 2 Interprétation géométrique de l’argument : Soit z ∈ C ∗ et θ un argument de z. Si M a pour affixe z, alors, θ représente une mesure de l’angle orienté (−→i , −−→OM). Si −→u a pour affixe z, alors, θ représente une mesure de l’angle orienté (−→i , −→u ). Si (a,b) ∈ R 2 \ {(0, 0)}, il existe (A,ω) ∈ R ∗ + ×R tels que : ∀t ∈ R, a cos t +b sint = Acos(t −ω). Proposition Démonstration.

Soit t ∈ R, d’après la formule d’Euler, on a : a cos t +b sint = a µ e i t +e −i t 2 ¶ +b µ e i t −e −i t 2i ¶ = (a −i b) 2 e i t + (a +i b) 2 e −i t . Notons z = a +i b 6= 0 et z = Aeiω sa forme trigonométrique (avec A ∈ R ∗ + et ω ∈ R), alors a cos(t)+b sint = z 2 e i t + z 2 e −i t = A 2 e −iω e i t + A 2 e iω e −i t = A 2 (e i(t−ω) +e −i(t−ω) ) = Acos(t −ω) Remarque : Une telle fonction t 7→ a cos t +b sint est appelée signal sinusoïdal.

Physiquement, le réel A représente son amplitude, et ω sa phase.

Comme vu dans la preuve, l’amplitude est le module de a +i b et la phase son argument. 42 Pour transformer une expression de la forme a cos t +b sint avec a,b ∈ R : • On pose z = a +i b.

On détermine le module et un argument θ de z. • On a alors : a cos t +b sint = |z|cosθ cos t +|z|sinθ sint = |z|cos(t −θ) Ceci est particulièrement utile pour résoudre une équation de la forme a cos t +b sint = C avec a,b,C ∈ R.. »